ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности с центрами О1 и О2 имеют две общие точки (рис. 20.24). С помощью только циркуля постройте окружности, симметричные данным относительно прямой АВ.

Постройте проекции центров \(O_1\) и \(O_2\) на прямую \(AB\), обозначьте их \(M_1\) и \(M_2\). Отложите равные отрезки с другой стороны прямой \(AB\) от \(M_1\) и \(M_2\) на расстоянии равном \(O_1M_1\) и \(O_2M_2\) соответственно, получив \(O_1’\) и \(O_2’\). Постройте окружности с центрами \(O_1’\) и \(O_2’\) и радиусами, равными радиусам исходных окружностей.

Для построения окружностей, симметричных данным относительно прямой \(AB\), первым шагом необходимо найти проекции центров исходных окружностей \(O_1\) и \(O_2\) на эту прямую. Для этого циркулем берём радиус, равный расстоянию от центра окружности до прямой \(AB\). Ставим иглу циркуля в центр \(O_1\) и проводим дугу, пересекающую прямую \(AB\). Точка пересечения будет проекцией \(M_1\). Аналогично повторяем для центра \(O_2\), получая проекцию \(M_2\). Эти точки \(M_1\) и \(M_2\) лежат на прямой \(AB\) и являются основаниями перпендикуляров из центров окружностей на прямую.

Далее, чтобы найти симметричные центры окружностей относительно прямой \(AB\), необходимо отложить на другой стороне прямой такие же отрезки, как расстояния от центров до их проекций. От точки \(M_1\) по перпендикуляру к \(AB\) откладываем отрезок равный \(O_1M_1\) в противоположную сторону, получая точку \(O_1’\). Аналогично строим точку \(O_2’\) от \(M_2\), откладывая отрезок \(O_2M_2\) в другую сторону. Таким образом, точки \(O_1’\) и \(O_2’\) являются симметричными относительно прямой \(AB\) центрами искомых окружностей.

Последний этап — построение окружностей с центрами \(O_1’\) и \(O_2’\) и радиусами, равными радиусам исходных окружностей. Так как симметрия сохраняет расстояния, радиусы новых окружностей совпадают с радиусами исходных. Используя циркуль, от центра \(O_1’\) откладываем радиус, равный радиусу окружности с центром \(O_1\), и чертим окружность. Аналогично строим окружность с центром \(O_2’\). В итоге получаем две окружности, симметричные исходным относительно прямой \(AB\).