ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите треугольник АВС и отметьте точку О, не принадлежащую ему. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки О.

Пусть \(O\) — центр симметрии, тогда для каждой вершины треугольника \(ABC\) симметричная точка находится по формуле: \(A_1 = 2O — A\), \(B_1 = 2O — B\), \(C_1 = 2O — C\). Соединив \(A_1, B_1, C_1\), получаем треугольник, симметричный \(ABC\) относительно точки \(O\).

Для построения треугольника, симметричного данному треугольнику \(ABC\) относительно точки \(O\), необходимо понять, что точка \(O\) является центром симметрии. Это значит, что каждая точка исходного треугольника имеет свою симметричную точку, такую что \(O\) — середина отрезка, соединяющего эти две точки. Если взять любую вершину треугольника, например \(A\), то симметричная ей точка \(A_1\) должна удовлетворять условию, что точка \(O\) лежит ровно посередине между \(A\) и \(A_1\).

Математически это выражается формулой \(O = \frac{A + A_1}{2}\), откуда можно выразить координаты симметричной точки \(A_1\) как \(A_1 = 2O — A\). Аналогично для остальных вершин треугольника \(B\) и \(C\) симметричные точки находятся по формулам \(B_1 = 2O — B\) и \(C_1 = 2O — C\). Таким образом, мы получаем три новые точки \(A_1, B_1, C_1\), которые являются образами исходных точек при симметрии относительно точки \(O\).

После нахождения точек \(A_1, B_1, C_1\) их нужно соединить отрезками, чтобы получить треугольник \(A_1B_1C_1\). Этот треугольник будет точной копией исходного, но повернутой и сдвинутой таким образом, что точка \(O\) находится в центре симметрии между этими двумя треугольниками. Важно, что расстояния и углы сохраняются, а положение треугольника меняется так, что каждая вершина нового треугольника является зеркальным отражением соответствующей вершины исходного относительно точки \(O\).