ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты точек, симметричных точкам А \((3; 1)\) и В \((0; 2)\) относительно: 1) начала координат; 2) точки М \((2; 3)\).

Для симметрии относительно начала координат:
\(A'(3;1) \to (-3;-1)\), \(B'(0;2) \to (0;-2)\).

Для симметрии относительно точки \(M(2;3)\):
\(A'(3;1) \to (2 \cdot 2 — 3; 2 \cdot 3 — 1) = (1;5)\),
\(B'(0;2) \to (2 \cdot 2 — 0; 2 \cdot 3 — 2) = (4;4)\).

Симметрия точки относительно начала координат \(O(0;0)\) означает, что новая точка находится на таком же расстоянии от начала координат, но в противоположном направлении. Если исходная точка имеет координаты \(P(x;y)\), то её симметричная точка будет иметь координаты \(P'(-x;-y)\). Это связано с тем, что отражение относительно начала координат меняет знак обеих координат, так как начало координат является центром симметрии. Например, для точки \(A(3;1)\) симметричная точка будет \(A'(-3;-1)\), а для точки \(B(0;2)\) — \(B'(0;-2)\).

Симметрия относительно произвольной точки \(M(x_m;y_m)\) выполняется по другой формуле. Если точка \(P(x;y)\) симметрична относительно точки \(M\), то её координаты рассчитываются по формуле \(P'(2x_m — x; 2y_m — y)\). Это объясняется тем, что точка \(M\) является центром симметрии, и расстояния от \(P\) до \(M\) и от \(P’\) до \(M\) равны, но находятся в противоположных направлениях. Применяя эту формулу к точке \(A(3;1)\) относительно \(M(2;3)\), получаем \(A'(2 \cdot 2 — 3; 2 \cdot 3 — 1) = (1;5)\). Аналогично для точки \(B(0;2)\) симметричная точка будет \(B'(4;4)\).

Таким образом, для каждой исходной точки мы можем определить её симметричное положение относительно заданного центра симметрии. В первом случае, когда центр симметрии — начало координат, меняются знаки обеих координат. Во втором случае, когда центр симметрии — точка \(M(2;3)\), новые координаты вычисляются через удвоение координат центра и вычитание координат исходной точки. Итоговые координаты для точек \(A\) и \(B\) представлены в таблице: