ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая.

Пусть \( a \) — прямая, проходящая через центр симметрии \( O \). Для любой точки \( B \in a \) её образ \( B’ \) при центральной симметрии с центром \( O \) определяется так, что \( O \) — середина отрезка \( BB’ \). Тогда \( B’ \) лежит на той же прямой \( a \), так как \( B, O, B’ \) коллинеарны. Следовательно, образ прямой \( a \) — сама прямая \( a \).

Пусть дана прямая \( a \), проходящая через центр симметрии \( O \). Центральная симметрия с центром в точке \( O \) задаёт отображение, при котором каждая точка \( M \) переходит в точку \( M’ \), такую что \( O \) является серединой отрезка \( MM’ \). Это означает, что вектор \( \overrightarrow{OM’} \) равен вектору \( -\overrightarrow{OM} \), то есть \( M’ \) симметрична \( M \) относительно точки \( O \).

Рассмотрим произвольную точку \( B \) на прямой \( a \). Поскольку \( O \in a \), то точки \( B \) и \( O \) лежат на одной прямой. Образ точки \( B \) при центральной симметрии — точка \( B’ \), для которой выполняется равенство \( \overrightarrow{OB’} = -\overrightarrow{OB} \). Это означает, что \( B’ \) лежит на той же прямой \( a \), но с другой стороны от \( O \), на таком же расстоянии, что и \( B \). Таким образом, для любой точки \( B \in a \) её образ \( B’ \) также принадлежит прямой \( a \).

Следовательно, множество образов всех точек прямой \( a \) при центральной симметрии с центром \( O \) совпадает с самой прямой \( a \). Это доказывает, что прямая, проходящая через центр симметрии, отображается в себя при центральной симметрии с этим центром. Таким образом, центральная симметрия сохраняет прямую, если она проходит через центр симметрии.