ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А \((х; 2)\) и В \((1; у)\) симметричны относительно: 1) начала координат; 2) точки М \((-1; 3)\). Найдите х и у.

1) При симметрии относительно начала координат: \(1 = -x\), \(y = -2\), значит \(x = -1\), \(y = -2\).

2) При симметрии относительно точки \(M(-1; 3)\): \(-1 = \frac{x + 1}{2}\), \(3 = \frac{2 + y}{2}\), значит \(x = -3\), \(y = 4\).

Если точки \(A(x; 2)\) и \(B(1; y)\) симметричны относительно начала координат, то координаты одной точки являются противоположными координатам другой. Это означает, что \(x_B = -x_A\) и \(y_B = -y_A\). Подставляя значения, получаем уравнения \(1 = -x\) и \(y = -2\). Из первого уравнения следует, что \(x = -1\), а из второго — \(y = -2\). Таким образом, при симметрии относительно начала координат координаты точки \(A\) равны \((-1; 2)\), а точки \(B\) — \((1; -2)\).

Если точки симметричны относительно точки \(M(-1; 3)\), то точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\). Это означает, что координаты точки \(M\) равны среднему арифметическому соответствующих координат точек \(A\) и \(B\). Для координаты \(x\) выполняется равенство \(-1 = \frac{x + 1}{2}\), а для координаты \(y\) — \(3 = \frac{2 + y}{2}\). Решая первое уравнение, умножаем обе части на 2: \(-2 = x + 1\), откуда \(x = -3\). Решая второе уравнение, получаем \(6 = 2 + y\), откуда \(y = 4\).

Таким образом, при симметрии относительно точки \(M(-1; 3)\) координаты точки \(A\) равны \((-3; 2)\), а точки \(B\) — \((1; 4)\). Эти вычисления показывают, как с помощью свойств симметрии и формулы середины отрезка можно найти неизвестные координаты точек, используя заданные условия симметрии.