ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии.

Пусть \( O \) — центр симметрии треугольника \( ABC \). Тогда \( O \) — середина отрезка, соединяющего каждую вершину с её симметричной точкой: \( A’ \), \( B’ \), \( C’ \). Так как симметрия переводит вершины в вершины, без совпадений, должно выполняться: \( A’ = B \), \( B’ = C \), \( C’ = A \). Тогда \( O \) — середина отрезков \( AB \), \( BC \) и \( CA \) одновременно, что невозможно. Значит, треугольник не имеет центра симметрии.

Пусть \( O \) — центр симметрии треугольника \( ABC \). По определению центра симметрии, для каждой точки \( A \) на фигуре существует точка \( A’ \), такая что \( O \) — середина отрезка \( AA’ \). Аналогично для точек \( B \) и \( C \). Это значит, что если \( O \) существует, то для каждой вершины треугольника есть симметричная ей вершина, и все эти симметричные точки также принадлежат треугольнику.

Рассмотрим, что происходит с вершинами треугольника при симметрии относительно \( O \). Так как симметрия — взаимно однозначное отображение, вершина \( A \) переходит в другую вершину треугольника, отличную от \( A \), то есть либо в \( B \), либо в \( C \). Пусть \( A’ = B \). Тогда \( O \) — середина отрезка \( AB \). Аналогично, вершина \( B \) переходит в \( C \), то есть \( B’ = C \), и \( O \) — середина отрезка \( BC \). Наконец, вершина \( C \) переходит в \( A \), то есть \( C’ = A \), и \( O \) — середина отрезка \( CA \).

Таким образом, точка \( O \) должна быть одновременно серединой всех трех сторон треугольника: \( AB \), \( BC \) и \( CA \). Это невозможно, так как середина каждого отрезка — это единственная точка, и три разные стороны треугольника пересекаются попарно только в вершинах, а не в одной точке внутри фигуры. Следовательно, такой точке \( O \) не существует, и треугольник не может иметь центр симметрии.