ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что луч не имеет центра симметрии.

Пусть \( O \) — начало луча. Если существует центр симметрии \( C \), то для точки \( O \) должна быть точка \( O’ \) на луче, такая что \( C \) — середина отрезка \( OO’ \). Тогда \( O’ \) лежит по другую сторону от \( O \), что невозможно для луча. Значит, центр симметрии у луча отсутствует.

Пусть \( O \) — начальная точка луча, а луч \( L \) состоит из всех точек, лежащих на прямой, проходящей через \( O \), и находящихся по одну сторону от \( O \). Предположим, что у луча есть центр симметрии \( C \). По определению центра симметрии, для любой точки \( A \) на фигуре существует точка \( A’ \), также принадлежащая фигуре, такая что \( C \) является серединой отрезка \( AA’ \). Это означает, что \( C \) делит отрезок \( AA’ \) пополам, то есть координаты \( C \) равны среднему арифметическому координат \( A \) и \( A’ \).

Рассмотрим точку \( O \), которая является началом луча. Если \( C \) — центр симметрии, то для точки \( O \) должна существовать точка \( O’ \) на луче, удовлетворяющая условию \( C = \frac{O + O’}{2} \). Из этого следует, что \( O’ = 2C — O \). Поскольку \( O \) принадлежит лучу, а \( O’ \) должна быть симметричной точкой относительно \( C \), \( O’ \) должна также принадлежать лучу. Однако луч содержит только точки, лежащие в одном направлении от \( O \), то есть все точки \( X \) луча удовлетворяют условию, что вектор \( \overrightarrow{OX} \) направлен в одну сторону. Точка \( O’ \), симметричная \( O \) относительно \( C \), будет лежать с другой стороны от \( O \), что противоречит определению луча.

Таким образом, для начальной точки \( O \) не существует точки \( O’ \) на луче, которая была бы симметрична относительно \( C \). Следовательно, не существует такой точки \( C \), которая могла бы служить центром симметрии для всего луча. Это доказывает, что луч не имеет центра симметрии.