ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что фигура, состоящая из двух равных параллельных отрезков, имеет центр симметрии.

Пусть два равных параллельных отрезка \(AB\) и \(CD\), тогда их середины \(M\) и \(N\). Точка \(O\), середина отрезков \(MN\), является центром симметрии, так как при отражении через \(O\) точка \(A\) переходит в \(D\), а \(B\) в \(C\). То есть \(O = \frac{M+N}{2} = \frac{\frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2}}{2} = \frac{A+B+C+D}{4}\), и отражение точки \(X\) относительно \(O\) даёт \(X’ = 2O — X\), что переводит один отрезок в другой.

Рассмотрим два равных параллельных отрезка \(AB\) и \(CD\). Пусть длина каждого отрезка равна \(l\), то есть \(|AB| = |CD| = l\), и они лежат на параллельных прямых. Обозначим середины этих отрезков как \(M\) и \(N\), где \(M = \frac{A + B}{2}\), \(N = \frac{C + D}{2}\). Точка \(O\), являющаяся серединой отрезка \(MN\), определяется как \(O = \frac{M + N}{2} = \frac{\frac{A + B}{2} + \frac{C + D}{2}}{2} = \frac{A + B + C + D}{4}\). Эта точка будет кандидатом на центр симметрии всей фигуры.

Чтобы доказать, что \(O\) — центр симметрии, нужно показать, что отражение каждой точки фигуры относительно \(O\) переводит фигуру в себя. Отражение точки \(X\) относительно \(O\) задаётся формулой \(X’ = 2O — X\). Применим это к концам отрезков. Подставляя \(A\), получаем \(A’ = 2O — A = \frac{A + B + C + D}{2} — A = \frac{B + C + D — A}{2}\). Аналогично для \(B’\), \(C’\) и \(D’\). Так как отрезки равны и параллельны, вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен вектору \(\overrightarrow{CD}\), то есть \(C = A + \vec{v}\) и \(D = B + \vec{v}\) для некоторого вектора \(\vec{v}\).

Подставляя \(C = A + \vec{v}\) и \(D = B + \vec{v}\) в выражение для \(A’\), получаем \(A’ = \frac{B + (A + \vec{v}) + (B + \vec{v}) — A}{2} = \frac{2B + 2\vec{v}}{2} = B + \vec{v} = D\). Аналогично для \(B’\) получаем \(B’ = A + \vec{v} = C\). Это показывает, что при отражении относительно точки \(O\) отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(CD\), и наоборот. Следовательно, вся фигура из двух равных параллельных отрезков симметрична относительно точки \(O\).

Таким образом, точка \(O\), являющаяся серединой отрезков, соединяющих середины исходных отрезков, является центром симметрии фигуры. Это означает, что для любой точки фигуры существует симметричная ей точка, отражённая относительно \(O\), и вся фигура совпадает с собой при таком отражении. Поэтому фигура из двух равных параллельных отрезков обязательно имеет центр симметрии.