ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.

Если четырёхугольник \(ABCD\) имеет центр симметрии \(O\), то \(O\) — середина отрезков \(AC\) и \(BD\), значит \(\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}\). Следовательно, \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(\vec{AD} = \vec{BC}\), то есть противоположные стороны равны и параллельны, значит \(ABCD\) — параллелограмм.

Если четырёхугольник \(ABCD\) имеет центр симметрии \(O\), это означает, что для каждой точки фигуры существует точка, симметричная ей относительно \(O\). В частности, вершина \(A\) имеет симметричную вершину, которая должна быть одной из вершин \(B, C, D\). Аналогично для остальных вершин. Поскольку всего четыре вершины, они образуют пары симметричных точек относительно \(O\). Пусть эти пары — \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\). Тогда точка \(O\) является серединой отрезков \(AC\) и \(BD\).

Из этого следует, что вектор положения точки \(O\) можно выразить как \( \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \) и одновременно \( \vec{O} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \). Приравнивая эти выражения, получаем уравнение \( \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \), откуда следует, что \( \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D} \). Перепишем это уравнение в виде \( \vec{A} — \vec{B} = \vec{D} — \vec{C} \), что означает равенство векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \).

Равенство векторов \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) означает, что стороны \(AB\) и \(DC\) равны по длине и параллельны. Аналогично, используя симметрию, можно показать, что \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), то есть стороны \(AD\) и \(BC\) также равны и параллельны. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, что по определению означает, что \(ABCD\) является параллелограммом.