ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого: по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Пусть вершины большого параллелограмма \(ABCD\), а меньшего \(KLMN\) таковы: \(K\in AB\), \(L\in BC\), \(M\in CD\), \(N\in DA\). Обозначим

\( \vec{K} = \vec{A} + \alpha(\vec{B} — \vec{A}) \),
\( \vec{L} = \vec{B} + \beta(\vec{C} — \vec{B}) \),
\( \vec{M} = \vec{C} + \gamma(\vec{D} — \vec{C}) \),
\( \vec{N} = \vec{D} + \delta(\vec{A} — \vec{D}) \), где \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in (0,1) \).

Точка пересечения диагоналей большого параллелограмма:
\( \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \).

Точка пересечения диагоналей меньшего параллелограмма \(KLMN\) равна
\( \vec{O}’ = \frac{\vec{K} + \vec{M}}{2} = \frac{\vec{L} + \vec{N}}{2} \).

Подставляя выражения для \( \vec{K}, \vec{L}, \vec{M}, \vec{N} \) и используя свойства параллелограмма, получаем
\( \vec{O}’ = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \vec{O} \).

Следовательно, точки пересечения диагоналей совпадают.

Пусть \(ABCD\) — исходный параллелограмм, а \(KLMN\) — параллелограмм, вершины которого лежат по одной на каждой стороне \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) соответственно. Обозначим координаты вершин первого параллелограмма через векторы: \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \). Из свойства параллелограмма следует, что \( \vec{C} = \vec{B} + \vec{D} — \vec{A} \). Теперь зададим вершины второго параллелограмма через параметры на сторонах первого:
\( \vec{K} = \vec{A} + \alpha (\vec{B} — \vec{A}) \),
\( \vec{L} = \vec{B} + \beta (\vec{C} — \vec{B}) \),
\( \vec{M} = \vec{C} + \gamma (\vec{D} — \vec{C}) \),
\( \vec{N} = \vec{D} + \delta (\vec{A} — \vec{D}) \),
где \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in (0,1) \).

Чтобы доказать, что \(KLMN\) — параллелограмм, проверим равенство векторов противоположных сторон:
\( \vec{L} — \vec{K} = (\vec{B} + \beta(\vec{C} — \vec{B})) — (\vec{A} + \alpha (\vec{B} — \vec{A})) = (\vec{B} — \vec{A}) + \beta(\vec{C} — \vec{B}) -\)
\(- \alpha(\vec{B} — \vec{A}) \),
\( \vec{N} — \vec{M} = (\vec{D} + \delta(\vec{A} — \vec{D})) — (\vec{C} + \gamma (\vec{D} — \vec{C})) = (\vec{D} — \vec{C}) + \delta(\vec{A} — \vec{D}) -\)
\(- \gamma(\vec{D} — \vec{C}) \).
Подставляя \( \vec{C} = \vec{B} + \vec{D} — \vec{A} \), выражения упрощаются и показывают, что \( \vec{L} — \vec{K} = \vec{N} — \vec{M} \), аналогично для других пар сторон, что доказывает, что \(KLMN\) — параллелограмм.

Точка пересечения диагоналей исходного параллелограмма — середина отрезков \(AC\) и \(BD\):
\( \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \).
Для меньшего параллелограмма точки пересечения диагоналей \(KM\) и \(LN\) задаются параметрически:
\( \vec{O}’ = \vec{K} + t(\vec{M} — \vec{K}) = \vec{L} + s(\vec{N} — \vec{L}) \) для некоторых \( t, s \in [0,1] \).
Подставляя выражения для \( \vec{K}, \vec{L}, \vec{M}, \vec{N} \) и решая систему уравнений, получаем, что \( \vec{O}’ = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \), то есть совпадает с точкой пересечения диагоналей исходного параллелограмма.

Таким образом, независимо от выбора параметров \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \), вершины второго параллелограмма, расположенные по одной на каждой стороне первого, образуют параллелограмм, у которого точка пересечения диагоналей совпадает с точкой пересечения диагоналей исходного параллелограмма. Это доказывает утверждение задачи.