ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности с центрами О1 и О2 симметричны относительно точки О. Прямая, проходящая через центр симметрии, пересекает первую окружность в точках А1 и В1, а вторую в точках А2 И В2 \((рис. 21.15)\). Докажите, что \(A1B1 = A2B2\)

Пусть \(O\) — центр симметрии, тогда \(O\) — середина отрезков \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\). Если обозначить координаты точек на прямой через \(x\), то \(A_1 = x — a\), \(A_2 = x + a\), \(B_1 = x — b\), \(B_2 = x + b\). Тогда длины отрезков равны \(A_1B_1 = |b — a|\) и \(A_2B_2 = |a — b|\), значит \(A_1B_1 = A_2B_2\).

Пусть точка \(O\) является центром симметрии, относительно которого две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) симметричны. Симметрия означает, что для каждой точки \(X\) на первой окружности существует точка \(X’\) на второй окружности такая, что \(O\) — середина отрезка \(XX’\). Это свойство распространяется на все точки окружностей, включая точки пересечения с прямой, проходящей через \(O\).

Пусть прямая, проходящая через \(O\), пересекает первую окружность в точках \(A_1\) и \(B_1\), а вторую окружность в точках \(A_2\) и \(B_2\). Поскольку симметрия центральная, то точки \(A_1\) и \(A_2\) симметричны относительно \(O\), так же как и \(B_1\) и \(B_2\). Следовательно, \(O\) — середина отрезков \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\). Если обозначить координату точки \(O\) на прямой за \(x\), то можно записать координаты остальных точек как \(A_1 = x — a\), \(A_2 = x + a\), \(B_1 = x — b\), \(B_2 = x + b\), где \(a\) и \(b\) — положительные числа.

Длина отрезка \(A_1B_1\) равна разности координат: \(A_1B_1 = |(x — a) — (x — b)| = |b — a|\). Аналогично, длина отрезка \(A_2B_2\) равна \(A_2B_2 = |(x + a) — (x + b)| = |a — b|\). Поскольку абсолютные значения равны, то \(A_1B_1 = A_2B_2\). Таким образом, длины отрезков, образованных точками пересечения прямой с симметричными окружностями, равны.