ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны окружность, прямая и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной окружности, а другой данной прямой.

Пусть \( O(x_0, y_0) \) — середина отрезка \( AB \), \( A(x_a, y_a) \) лежит на окружности, \( B(x_b, y_b) \) лежит на прямой. Тогда

\( x_b = 2x_0 — x_a \), \( y_b = 2y_0 — y_a \).

Выбираем точку \( A \) на окружности, подставляем в уравнение прямой точку \( B \). Решая систему, находим подходящие координаты \( A \) и \( B \). Отрезок \( AB \) построен с серединой в \( O \), один конец на окружности, другой на прямой.

Пусть \( O(x_0, y_0) \) — середина отрезка \( AB \), где точки \( A(x_a, y_a) \) и \( B(x_b, y_b) \) — концы отрезка. По определению середины отрезка координаты точки \( O \) равны среднему арифметическому координат концов: \( x_0 = \frac{x_a + x_b}{2} \), \( y_0 = \frac{y_a + y_b}{2} \). Из этих уравнений выразим координаты точки \( B \) через \( A \) и \( O \): \( x_b = 2x_0 — x_a \), \( y_b = 2y_0 — y_a \). Таким образом, зная \( O \) и выбирая \( A \), мы автоматически определяем \( B \).

Точка \( A \) должна лежать на окружности, уравнение которой обычно имеет вид \( (x — x_c)^2 + (y — y_c)^2 = r^2 \), где \( (x_c, y_c) \) — центр окружности, а \( r \) — радиус. Подставляя координаты \( A(x_a, y_a) \) в это уравнение, мы получаем ограничение на \( A \). Точка \( B \), в свою очередь, должна лежать на заданной прямой, уравнение которой можно записать как \( ax + by + c = 0 \). Подставляя выражения для \( x_b \) и \( y_b \) через \( x_a, y_a \) и \( x_0, y_0 \), получаем уравнение \( a(2x_0 — x_a) + b(2y_0 — y_a) + c = 0 \).

Теперь задача сводится к поиску такой точки \( A \) на окружности, для которой точка \( B \), вычисленная по формулам \( x_b = 2x_0 — x_a \), \( y_b = 2y_0 — y_a \), удовлетворяет уравнению прямой. Это можно сделать, решая систему из уравнения окружности и уравнения прямой, подставленного с учетом зависимости \( B \) от \( A \). В итоге получаем координаты \( A \) и \( B \), которые удовлетворяют всем условиям: \( O \) — середина отрезка \( AB \), \( A \) лежит на окружности, а \( B \) — на прямой.