ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две окружности и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, концы которого принадлежат данным окружностям.

Пусть даны окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\), радиусами \(R_1\) и \(R_2\), и точка \(M\). Тогда точка \(A\) лежит на первой окружности: \((x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 = R_1^2\), а точка \(B = 2M — A\) лежит на второй: \((2x_m — x — x_2)^2 + (2y_m — y — y_2)^2 = R_2^2\). Искомый отрезок — это отрезок \(AB\), где \(A\) — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами \(O_1\) и \(O_2′ = (2x_m — x_2, 2y_m — y_2)\) и радиусами \(R_1\) и \(R_2\).

Пусть даны две окружности с центрами в точках \(O_1 = (x_1, y_1)\) и \(O_2 = (x_2, y_2)\), радиусами \(R_1\) и \(R_2\), а также точка \(M = (x_m, y_m)\), которая должна быть серединой искомого отрезка \(AB\). По условию, точки \(A\) и \(B\) должны лежать на первой и второй окружностях соответственно, а точка \(M\) должна быть серединой отрезка \(AB\). Это означает, что координаты точки \(M\) связаны с координатами \(A\) и \(B\) равенством \(M = \frac{A + B}{2}\), или иначе \(B = 2M — A\).

Точка \(A = (x, y)\) принадлежит первой окружности, следовательно, она удовлетворяет уравнению \((x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 = R_1^2\). Поскольку \(B = 2M — A = (2x_m — x, 2y_m — y)\), точка \(B\) должна принадлежать второй окружности, то есть выполнять уравнение \((2x_m — x — x_2)^2 + (2y_m — y — y_2)^2 = R_2^2\). Таким образом, задача сводится к поиску точек \(A\), которые одновременно лежат на первой окружности и удовлетворяют условию, что точка \(B\), вычисленная через \(A\), лежит на второй окружности.

Если переписать уравнение для точки \(B\), то оно принимает вид окружности с центром в точке \(O_2′ = (2x_m — x_2, 2y_m — y_2)\) и радиусом \(R_2\), то есть \((x — (2x_m — x_2))^2 + (y — (2y_m — y_2))^2 = R_2^2\). Следовательно, точка \(A\) должна лежать на пересечении двух окружностей: первой с центром \(O_1\) и радиусом \(R_1\), и второй с центром \(O_2’\) и радиусом \(R_2\). Решая систему уравнений этих двух окружностей, мы находим одну или две точки \(A\), после чего вычисляем соответствующие точки \(B = 2M — A\). Отрезок \(AB\) с серединой в точке \(M\) и концами на данных окружностях — искомый.