ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что описанные окружности треугольников BOC и AOD касаются.

Окружности, описанные треугольниками \( BOC \) и \( AOD \), касаются, так как углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) равны, а стороны \( BO = OD \) и \( OC = AO \) равны. Это делает треугольники подобными, следовательно, их окружности имеют одинаковый радиус. Расстояние между центрами окружностей равно двойному радиусу, что подтверждает их касание.

Окружности, описанные треугольниками \( BOC \) и \( AOD \), касаются, поскольку в параллелограмме диагонали пересекаются в серединах, что делает точку \( O \) серединой обеих диагоналей. Это означает, что отрезки \( BO \) и \( OD \) равны, а также \( OC \) и \( AO \) равны, так как \( O \) делит диагонали пополам. Таким образом, мы имеем \( BO = OD \) и \( OC = AO \).

Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) также равны, так как они являются вертикальными углами, образованными пересечением диагоналей. Эти углы являются равными, что указывает на то, что треугольники \( BOC \) и \( AOD \) имеют одинаковую форму и пропорции. Следовательно, эти треугольники подобны, и их описанные окружности имеют одинаковые радиусы.

Так как радиусы окружностей равны, расстояние между центрами описанных окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \) будет равно двойному радиусу. Это подтверждает, что окружности касаются в одной точке. Таким образом, мы можем заключить, что описанные окружности треугольников \( BOC \) и \( AOD \) касаются.