ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры, так как для любой точки \( A(x, y) \) её отражение относительно оси \( x \) будет \( A'(x, -y) \), а затем отражение относительно оси \( y \) даст \( A»(-x, -y) \). Середина отрезка \( AA» \) равна \( M\left(\frac{x + (-x)}{2}, \frac{y + (-y)}{2}\right) = (0, 0) \), что подтверждает, что точка пересечения осей симметрии \( O(0, 0) \) является центром симметрии.

Если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения обязательно является центром симметрии этой фигуры. Рассмотрим это утверждение подробнее. Обозначим две оси симметрии как ось \( x \) и ось \( y \). Для любой точки \( A \) с координатами \( (x, y) \) мы можем провести отражение относительно оси \( x \). Результатом этого отражения будет точка \( A’ \) с координатами \( (x, -y) \). Это означает, что если мы возьмем любую точку на фигуре, её отражение относительно оси \( x \) будет находиться на равном расстоянии от этой оси, но с противоположным знаком по оси \( y \).

Теперь, если мы применим отражение относительно оси \( y \) к точке \( A’ \), то получим новую точку \( A» \) с координатами \( (-x, -y) \). Таким образом, мы видим, что отражение точки \( A \) сначала относительно оси \( x \), а затем относительно оси \( y \) приводит к новой точке, которая находится в противоположном квадранте. Это указывает на то, что если мы проведем отрезок между точками \( A \) и \( A» \), то его середина будет находиться в точке \( O(0, 0) \), которая является точкой пересечения осей симметрии.

Проверим это более формально. Середина отрезка \( AA» \) вычисляется по формуле:

\[
M\left(\frac{x + (-x)}{2}, \frac{y + (-y)}{2}\right) = \left(0, 0\right)
\]

Таким образом, для любой точки \( A \) фигуры, её отражение относительно обеих осей симметрии всегда проходит через точку \( O \). Это значит, что точка \( O \) является центром симметрии фигуры, так как для каждой точки \( A \) существует точка \( A» \), такая что \( O \) является серединой отрезка \( AA» \). Следовательно, если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии этой фигуры.