ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите окружность и отметьте на ней точку. Постройте окружность, симметричную данной относительно отмеченной точки.

Пусть центр исходной окружности \( O \), отмеченная точка \( A \), радиус \( R \). Центр симметричной окружности \( O’ \) находится по формуле \( O’ = 2A — O \), радиус остается \( R \). Построить окружность с центром \( O’ \) и радиусом \( R \).

Для построения окружности, симметричной данной относительно точки, необходимо понять, что симметрия относительно точки означает, что каждая точка исходной фигуры отражается через эту точку так, что она и её образ лежат на одной прямой, а отмеченная точка является серединой отрезка, соединяющего эти две точки. Пусть исходная окружность имеет центр \( O \) и радиус \( R \), а точка симметрии — \( A \), которая может находиться как внутри, так и вне окружности. Чтобы построить симметричную окружность, нужно найти новый центр \( O’ \), который будет симметричен центру \( O \) относительно точки \( A \).

Для нахождения координат центра новой окружности \( O’ \) используется формула симметрии относительно точки: \( O’ = 2A — O \). Это означает, что координаты центра \( O’ \) вычисляются как удвоенные координаты точки \( A \) минус координаты точки \( O \). Если рассматривать координаты в виде векторов, то вектор \( \overrightarrow{O’} \) равен \( 2 \overrightarrow{A} — \overrightarrow{O} \). Таким образом, точка \( A \) является серединой отрезка \( OO’ \), что соответствует определению центральной симметрии.

Радиус новой окружности при этом не изменяется и остается равным \( R \), так как симметрия относительно точки сохраняет расстояния. Следовательно, чтобы построить искомую окружность, необходимо начертить окружность с центром \( O’ \) и радиусом \( R \). В результате получится окружность, которая является точной копией исходной, но расположена симметрично относительно точки \( A \).