ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точке М. Проведите через точку М прямую, которая во второй раз пересекает данные окружности в точках А и В так, что АМ = МВ.

Проведите прямую через точку \( M \), перпендикулярную линии, соединяющей центры окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \). Точки \( A \) и \( B \) будут находиться на этой прямой так, что \( AM = MB \).

Для решения задачи о пересечении двух окружностей, обозначим окружности как \( C_1 \) и \( C_2 \) с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) и радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \) соответственно. Эти окружности пересекаются в точке \( M \). Нам необходимо провести прямую, проходящую через точку \( M \), которая будет пересекать окружности во второй раз в точках \( A \) и \( B \) так, чтобы выполнялось условие \( AM = MB \).

Чтобы добиться равенства отрезков \( AM \) и \( MB \), точка \( M \) должна быть серединой отрезка \( AB \). Это можно сделать, проведя прямую через \( M \), которая будет перпендикулярна линии, соединяющей центры окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \). Таким образом, если мы обозначим угол между этой прямой и линией \( O_1O_2 \) как \( 90^\circ \), то точки \( A \) и \( B \) будут находиться на этой перпендикулярной прямой.

Теперь, используя свойства симметрии, мы можем утверждать, что отрезки \( AM \) и \( MB \) будут равны, если \( M \) является серединой отрезка \( AB \). Это условие гарантирует, что прямая, проведенная через \( M \), будет пересекать обе окружности в точках \( A \) и \( B \) с равными расстояниями до точки \( M \). Таким образом, мы можем заключить, что правильное построение требует, чтобы прямая была перпендикулярна к линии, соединяющей центры окружностей, обеспечивая равенство отрезков.