ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка С середина отрезка АВ. На луче CQ отметили точки Р и М такие, что \(PM = MQ\) (рис. 21.16). Докажите, что \(AP + BQ > 2CM\).

Доказательство: \(AP + BQ > 2CM\). Так как точка С — середина отрезка АВ, то \(AC = CB\). Треугольник РСМ равнобедренный, так как \(PM = MQ\). Следовательно, \(AP = BQ\), так как \(AP = AC + CP\) и \(BQ = CB + CQ\). Сложив неравенства \(AP > CM\) и \(BQ > CM\), получаем \(AP + BQ > 2CM\).

Доказательство: \(AP + BQ > 2CM\). Так как точка С является серединой отрезка АВ, то \(AC = CB\). Это означает, что треугольник РСМ является равнобедренным, поскольку \(PM = MQ\). Следовательно, \(AP = BQ\), так как \(AP = AC + CP\) и \(BQ = CB + CQ\). Сложив неравенства \(AP > CM\) и \(BQ > CM\), получаем \(AP + BQ > 2CM\). Таким образом, мы доказали, что сумма длин отрезков \(AP\) и \(BQ\) больше, чем удвоенная длина отрезка \(CM\).

Рассмотрим более подробно данное доказательство. Во-первых, так как точка С является серединой отрезка АВ, то длины отрезков \(AC\) и \(CB\) равны. Это следует из определения середины отрезка. Во-вторых, треугольник РСМ является равнобедренным, поскольку длины отрезков \(PM\) и \(MQ\) равны. Это вытекает из условия задачи.

Далее, мы можем записать, что \(AP = AC + CP\) и \(BQ = CB + CQ\). Так как \(AC = CB\), то \(AP = BQ\). Это означает, что длины отрезков \(AP\) и \(BQ\) равны. Теперь, сложив неравенства \(AP > CM\) и \(BQ > CM\), мы получаем \(AP + BQ > 2CM\). Таким образом, мы доказали, что сумма длин отрезков \(AP\) и \(BQ\) больше, чем удвоенная длина отрезка \(CM\).