ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противолежащим сторонам, пересекаются в одной точке.

Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника и перпендикулярные противолежащим сторонам, пересекаются в одной точке, так как они являются медианами треугольников, образованных этими сторонами. По свойству вписанных углов и теореме о пересечении медиан, точки пересечения медиан находятся в одной точке.

Пусть \( ABCD \) — вписанный четырёхугольник, где \( M \), \( N \), \( P \), \( Q \) — середины сторон \( AB \), \( CD \), \( AD \), \( BC \) соответственно.

1. Прямые \( MN \) и \( PQ \) проводятся через середины сторон. Прямая \( MN \) перпендикулярна стороне \( CD \), а прямая \( PQ \) — стороне \( AB \).

2. Рассмотрим треугольники \( AMB \) и \( CPD \). Поскольку \( M \) и \( N \) — середины, то отрезки \( AM \) и \( MB \) равны, так же как \( CP \) и \( PD \). Это означает, что треугольники \( AMB \) и \( CPD \) подобны по критерию \( SSS \) (сторона, сторона, сторона).

3. Аналогично, рассмотрим треугольники \( BNC \) и \( DQA \). Здесь также \( N \) и \( Q \) — середины, и отрезки \( BN \) и \( NC \) равны, а \( DQ \) и \( QA \) равны. Это также приводит к подобию треугольников \( BNC \) и \( DQA \).

4. Поскольку прямые \( MN \) и \( PQ \) являются медианами этих треугольников, они пересекаются в одной точке, которая является центром масс (центроидом) для каждого из треугольников.

5. Таким образом, все четыре прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника и перпендикулярные противолежащим сторонам, пересекаются в одной точке.

6. Это свойство также подтверждается теоремой о пересечении медиан: если две медианы пересекаются, то их пересечение будет находиться в одной точке.

Следовательно, прямые \( MN \) и \( PQ \) пересекаются в одной точке.