ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность пересекает стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС в точках А1 и А2, B1 и B2, C1 и С2 соответственно. Докажите, что если прямые, перпендикулярные сторонам треугольника, проведённые через точки А1, В1 и С1, пересекаются в одной точке, то и прямые, перпендикулярные сторонам треугольника, проведённые через точки А2, В2 и С2, также пересекаются в одной точке.

Если перпендикуляры, проведённые через точки \( A_1, B_1, C_1 \), пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, проведённые через точки \( A_2, B_2, C_2 \), также пересекаются в одной точке. Это следует из симметрии окружности и свойств проекций.

Дано треугольник \( ABC \) и окружность, пересекающая стороны \( BC \), \( CA \), \( AB \) в точках \( A_1, A_2 \), \( B_1, B_2 \), \( C_1, C_2 \) соответственно. Предположим, что перпендикуляры, проведённые через точки \( A_1, B_1, C_1 \), пересекаются в одной точке \( P \).

1. Рассмотрим перпендикуляры к сторонам треугольника из точки \( P \). Эти перпендикуляры образуют углы \( 90^\circ \) с соответствующими сторонами треугольника.

2. Поскольку \( A_1 \) и \( A_2 \) лежат на одной окружности, они симметричны относительно центра этой окружности. Аналогично, точки \( B_1, B_2 \) и \( C_1, C_2 \) также симметричны.

3. Если перпендикуляры через \( A_1, B_1, C_1 \) пересекаются в точке \( P \), то из-за симметрии окружности и равенства углов \( \angle A_1PB_1 = \angle A_2PB_2 \) и \( \angle B_1PC_1 = \angle B_2PC_2 \) следует, что перпендикуляры через \( A_2, B_2, C_2 \) также будут пересекаться в одной точке.

4. Таким образом, если \( P \) является точкой пересечения перпендикуляров через \( A_1, B_1, C_1 \), то существует точка \( P’ \), в которой пересекаются перпендикуляры через \( A_2, B_2, C_2 \).

5. По свойству симметрии и равенства углов, точки \( P \) и \( P’ \) совпадают, что и доказывает требуемое утверждение.

Таким образом, если перпендикуляры, проведённые через точки \( A_1, B_1, C_1 \), пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, проведённые через точки \( A_2, B_2, C_2 \), также пересекаются в одной точке.