ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две параллельные прямые а и b (рис. 21.13). Найдите точку, относительно которой прямая а будет симметричной прямой b. Сколько решений имеет задача?

Точка симметрии \(O\) — середина отрезка, соединяющего любую точку на \(a\) и соответствующую точку на \(b\). Решений бесконечно много, все точки \(O\) лежат на прямой, проходящей посередине между \(a\) и \(b\).

Пусть даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Нужно найти точку \(O\), относительно которой прямая \(a\) будет симметрична прямой \(b\). Симметрия относительно точки — это центральная симметрия, которая соответствует повороту на 180 градусов вокруг этой точки. Если при таком повороте прямая \(a\) перейдет в прямую \(b\), значит для любой точки \(A\) на прямой \(a\) существует точка \(B\) на прямой \(b\), такая что \(O\) — середина отрезка \(AB\).

Рассмотрим произвольную точку \(A\) на прямой \(a\). При повороте на 180 градусов вокруг точки \(O\) точка \(A\) перейдет в точку \(B\), которая должна лежать на прямой \(b\). Поскольку прямые \(a\) и \(b\) параллельны, расстояние между ними постоянно, и отрезок \(AB\) перпендикулярен этим прямым. Тогда точка \(O\), являющаяся серединой отрезка \(AB\), обязательно лежит на прямой, которая проходит ровно посередине между \(a\) и \(b\).

Таким образом, множество всех таких точек \(O\) образует прямую, которая параллельна \(a\) и \(b\) и находится на равном расстоянии от них. Это означает, что решений задачи бесконечно много — любая точка на этой средней прямой будет точкой симметрии, относительно которой прямая \(a\) перейдет в прямую \(b\) при повороте на 180 градусов.