ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

В параллелограмме точка пересечения диагоналей \(O\) делит их пополам, то есть \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Значит, при симметрии относительно \(O\) вершина \(A\) переходит в \(C\), а \(B\) в \(D\), то есть \(O\) — центр симметрии параллелограмма.

В параллелограмме диагонали пересекаются в точке \(O\), которая делит каждую диагональ на две равные части. Это означает, что отрезки \(AO\) и \(OC\) равны, а также отрезки \(BO\) и \(OD\) равны, то есть \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Такое свойство характерно для всех параллелограммов и является ключевым при доказательстве, что точка пересечения диагоналей — центр симметрии.

Если рассмотреть центральную симметрию относительно точки \(O\), то для любой точки \(M\) фигуры существует точка \(M’\), такая что \(O\) является серединой отрезка \(MM’\). В частности, для вершин параллелограмма это означает, что вершина \(A\) при симметрии относительно \(O\) переходит в вершину \(C\), поскольку \(O\) — середина отрезка \(AC\). Аналогично вершина \(B\) переходит в вершину \(D\), так как \(O\) — середина отрезка \(BD\). Таким образом, при симметрии относительно \(O\) все вершины параллелограмма меняются местами попарно.

В результате вся фигура отображается сама на себя при центральной симметрии относительно точки \(O\). Это значит, что \(O\) является центром симметрии параллелограмма. Следовательно, точка пересечения диагоналей параллелограмма обладает свойством центральной симметрии, что и требовалось доказать.