ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что окружность имеет центр симметрии.

Пусть \( O \) — центр окружности, \( A \) — точка на окружности. Тогда точка \( A’ \), симметричная \( A \) относительно \( O \), определяется как \( \vec{OA’} = -\vec{OA} \). Поскольку \( OA = r \), то \( OA’ = r \), значит \( A’ \) также лежит на окружности. Следовательно, \( O \) — центр симметрии окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( r \). Рассмотрим произвольную точку \( A \), лежащую на этой окружности. По определению, расстояние от центра \( O \) до точки \( A \) равно радиусу, то есть \( OA = r \). Теперь рассмотрим точку \( A’ \), которая является симметричной точке \( A \) относительно центра \( O \). Это означает, что вектор \( \vec{OA’} \) направлен в противоположную сторону от вектора \( \vec{OA} \) и равен ему по длине с обратным знаком: \( \vec{OA’} = -\vec{OA} \).

Поскольку длина вектора не меняется при умножении на \(-1\), то \( OA’ = |\vec{OA’}| = |-\vec{OA}| = OA = r \). Таким образом, точка \( A’ \) тоже находится на окружности, потому что её расстояние до центра \( O \) равно радиусу \( r \). Это доказывает, что для каждой точки \( A \) окружности существует точка \( A’ \), симметричная ей относительно центра \( O \), и эта точка также принадлежит окружности.

Следовательно, центр \( O \) окружности является точкой, относительно которой окружность симметрична. Иначе говоря, окружность имеет центр симметрии, которым является её центр \( O \). Эта симметрия означает, что если повернуть всю фигуру на 180 градусов вокруг центра \( O \), то она совпадёт сама с собой, что и подтверждает наличие центра симметрии.