ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки \(A_1\) и \(B_1\) являются образами соответственно точек \(A\) и \(B\) при симметрии относительно точки, не принадлежащей прямой \(AB\). Докажите, что четырёхугольник \(ABA_1B_1\) — параллелограмм.
Точки \(A_1\) и \(B_1\) — образы точек \(A\) и \(B\) при симметрии относительно точки \(O\), значит \(O\) — середина отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\), то есть \(OA = OA_1\), \(OB = OB_1\). Тогда векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{B_1A_1}\) равны по длине и противоположны по направлению, то есть \(\vec{AB} \parallel \vec{B_1A_1}\), а векторы \(\vec{BA_1}\) и \(\vec{AB_1}\) совпадают. Следовательно, \(ABA_1B_1\) — параллелограмм.
Пусть \(A_1\) и \(B_1\) — образы точек \(A\) и \(B\) при симметрии относительно точки \(O\). По определению симметрии относительно точки \(O\) точка \(O\) является серединой отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\). Это означает, что векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OA_1}\) равны по длине, но направлены в противоположные стороны, то есть \(\vec{OA_1} = -\vec{OA}\), а также \(\vec{OB_1} = -\vec{OB}\). Отсюда следует, что \(O\) — середина отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\), и точки \(A_1\) и \(B_1\) расположены симметрично точкам \(A\) и \(B\) относительно \(O\).
Рассмотрим теперь векторы сторон четырёхугольника \(ABA_1B_1\). Вектор \(\vec{AB}\) равен \(\vec{OB} — \vec{OA}\). Аналогично, вектор \(\vec{A_1B_1}\) равен \(\vec{OB_1} — \vec{OA_1}\). Подставляя выражения для симметричных точек, получаем \(\vec{A_1B_1} = -\vec{OB} — (-\vec{OA}) = -\vec{OB} + \vec{OA} = -(\vec{OB} — \vec{OA}) = -\vec{AB}\). Это показывает, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{A_1B_1}\) равны по длине и направлены в противоположные стороны, следовательно, стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны и равны.
Далее рассмотрим векторы \(\vec{BA_1}\) и \(\vec{AB_1}\). Вектор \(\vec{BA_1} = \vec{OA_1} — \vec{OB} = -\vec{OA} — \vec{OB} = -(\vec{OA} + \vec{OB})\), а вектор \(\vec{AB_1} = \vec{OB_1} — \vec{OA} = -\vec{OB} — \vec{OA} = -(\vec{OA} + \vec{OB})\). Таким образом, \(\vec{BA_1} = \vec{AB_1}\), что означает, что стороны \(BA_1\) и \(AB_1\) равны и параллельны. Поскольку противоположные стороны четырёхугольника \(ABA_1B_1\) равны и параллельны, этот четырёхугольник является параллелограммом.