ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка О центр правильного n-угольника A1 A2 … An (рис. 22.18). Докажите, что \(OA1 + OA2 + … + OAn = 0\).

Сумма векторов от центра правильного n-угольника до его вершин равна нулю:

\( OA_1 + OA_2 + \ldots + OA_n = 0 \).

Это происходит из-за симметрии n-угольника: каждая пара векторов \( \vec{OA_i} \) и \( \vec{OA_{n-i+1}} \) направлена в противоположные стороны и имеет одинаковую длину.

Рассмотрим правильный n-угольник с центром в точке \( O \) и вершинами \( A_1, A_2, \ldots, A_n \). Обозначим векторы от центра до вершин как \( \vec{OA_1}, \vec{OA_2}, \ldots, \vec{OA_n} \).

Из-за симметрии правильного n-угольника, если мы вращаем его вокруг точки \( O \) на угол \( \frac{2\pi}{n} \), то каждая вершина перемещается на равные расстояния и под одинаковыми углами. Это означает, что векторы \( \vec{OA_i} \) и \( \vec{OA_{n-i+1}} \) будут направлены в противоположные стороны.

Таким образом, для каждой пары векторов, например \( \vec{OA_1} \) и \( \vec{OA_n} \), их сумма будет равна нулю:

\( \vec{OA_1} + \vec{OA_n} = \vec{0} \).

Если \( n \) чётное, то мы можем разбить векторы на \( \frac{n}{2} \) пар, каждая из которых вносит нулевой вклад в сумму. Если \( n \) нечётное, то один вектор \( \vec{OA_k} \) остаётся без пары, но он также уравновешивается остальными векторами, так как их количество также будет нечетным и симметричным относительно центра.

Таким образом, сумма всех векторов равна нулю:

\( OA_1 + OA_2 + \ldots + OA_n = 0 \).