ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть вершина А квадрата ABCD центр поворота против часовой стрелки на угол \(90°\). Найдите отрезок СС1, где точка С1 образ точки С при заданном повороте, если \(АВ = 1 см\).

Длина отрезка CC1 равна \(2 \text{ см}\). Для решения задачи необходимо построить квадрат ABCD со стороной \(AB = 1 \text{ см}\), затем повернуть его на \(90^\circ\) против часовой стрелки относительно вершины A. Координаты точки C1 — образа точки C при повороте — будут \((0, 1)\), а длина отрезка CC1 составит \(\sqrt{(2 — 0)^2 + (1 — 1)^2} = 2 \text{ см}\).

Пусть вершина квадрата \(ABCD\) — точка \(A\) с координатами \((0,0)\). Сторона квадрата равна \(1 \text{ см}\), то есть \(AB = 1 \text{ см}\).

Рассмотрим расположение остальных вершин квадрата при таком условии. Пусть \(AB\) лежит на оси \(x\), тогда:
— \(A = (0,0)\)
— \(B = (1,0)\)
— \(C = (1,1)\)
— \(D = (0,1)\)

Поворот на угол \(90^\circ\) против часовой стрелки относительно точки \(A\) описывается преобразованием координат точки \( (x,y) \) в новую точку \( (x’,y’) \) по формулам:
\(x’ = x \cos 90^\circ — y \sin 90^\circ\),
\(y’ = x \sin 90^\circ + y \cos 90^\circ\).

Подставим значения \(\cos 90^\circ = 0\), \(\sin 90^\circ = 1\):
\(x’ = 0 \cdot x — 1 \cdot y = -y\),
\(y’ = 1 \cdot x + 0 \cdot y = x\).

Применим это к точке \(C = (1,1)\):
\(x’_C = -1\),
\(y’_C = 1\).

Таким образом, после поворота точка \(C\) перейдет в точку \(C_1 = (-1,1)\).

Теперь найдём длину отрезка \(CC_1\). Координаты:
\(C = (1,1)\),
\(C_1 = (-1,1)\).

Длина отрезка \(CC_1\) равна:
\(\sqrt{(x_C — x_{C_1})^2 + (y_C — y_{C_1})^2} = \sqrt{(1 — (-1))^2 + (1 — 1)^2}=\)
\( = \sqrt{(2)^2 + 0^2} = 2 \text{ см}\).

Ответ: длина отрезка \(CC_1\) равна \(2 \text{ см}\).