ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка М принадлежит углу АВС и не принадлежит его сторонам. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого является точка М, а две другие вершины принадлежат сторонам ВА и ВС соответственно.

Пусть \(P\) и \(Q\) — основания перпендикуляров из точки \(M\) на стороны \(BA\) и \(BC\) соответственно. Тогда \(PM \perp BA\), \(QM \perp BC\) и угол \(PMQ = 90^\circ\). При этом если \(PM = QM\), треугольник \(PMQ\) будет равнобедренным и прямоугольным с прямым углом в вершине \(M\).

Пусть дан угол с вершиной в точке \(B\) и стороны \(BA\) и \(BC\). Точка \(M\) лежит внутри угла, но не на его сторонах.

Проведём из точки \(M\) перпендикуляры на стороны \(BA\) и \(BC\). Обозначим точки пересечения перпендикуляров с этими сторонами как \(P\) и \(Q\) соответственно.

Так как \(PM \perp BA\) и \(QM \perp BC\), угол \(PMQ\) является прямым, то есть \(\angle PMQ = 90^\circ\).

Для того чтобы треугольник \(PMQ\) был равнобедренным, необходимо, чтобы отрезки \(PM\) и \(QM\) были равны: \(PM = QM\).

Это условие означает, что точка \(M\) находится на биссектрисе угла \(PQ\), образованного сторонами \(BA\) и \(BC\).

Таким образом, треугольник \(PMQ\) с вершиной в \(M\) является равнобедренным прямоугольным, где \(P\) и \(Q\) — основания перпендикуляров из \(M\) на стороны угла.