ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В данный квадрат впишите равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин совпадала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали сторонам квадрата.
Рассмотрим квадрат со стороной \(a\). Пусть вершина равностороннего треугольника совпадает с вершиной квадрата \(A=(0,0)\), а две другие вершины лежат на сторонах \(AB\) и \(AD\): \(E=(x,0)\), \(F=(0,y)\). Для равностороннего треугольника должны выполняться равенства сторон: \(AE=AF=EF\).
Длины сторон:
\(AE = x\),
\(AF = y\),
\(EF = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Из равенства \(AE = AF\) следует \(x = y\).
Из равенства \(AE = EF\) получаем \(x = \sqrt{x^2 + x^2} = x \sqrt{2}\), что возможно только при \(x=0\), что невозможно для треугольника.
Ответ: равносторонний треугольник с одной вершиной в углу квадрата и двумя вершинами на прилегающих сторонах построить нельзя.
Пусть квадрат \(ABCD\) имеет сторону длины \(a\). Координаты вершин примем так: \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(D = (0,a)\).
Рассмотрим равносторонний треугольник с вершиной в точке \(A\) и двумя другими вершинами на сторонах \(AB\) и \(AD\). Обозначим эти вершины как \(E = (x,0)\) на стороне \(AB\) и \(F = (0,y)\) на стороне \(AD\), где \(0 \leq x \leq a\), \(0 \leq y \leq a\).
Длины сторон треугольника \(AEF\) вычисляются следующим образом: \(AE = |x — 0| = x\), \(AF = |y — 0| = y\), \(EF = \sqrt{(x — 0)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны: \(AE = AF = EF\).
Из равенства \(AE = AF\) получаем \(x = y\).
Подставим \(y = x\) в равенство \(AE = EF\): \(x = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x \sqrt{2}\).
При \(x > 0\) равенство \(x = x \sqrt{2}\) не выполняется, так как \(\sqrt{2} > 1\).
Следовательно, единственным решением является \(x = 0\), что означает вырождение треугольника в точку \(A\).
Таким образом, построить равносторонний треугольник с одной вершиной в углу квадрата и двумя другими вершинами, лежащими на прилегающих сторонах квадрата, невозможно.
