ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две окружности и точка М вне этих окружностей. Постройте прямоугольный равнобедренный треугольник с вершиной в точке М так, чтобы две другие его вершины лежали на данных окружностях.

Пусть \( M \) — вершина прямого угла равнобедренного треугольника. Тогда точки \( A \) и \( B \) на двух окружностях должны удовлетворять условиям \( MA = MB \) и угол \( AMB = 90^\circ \). Для этого построим окружность с центром в \( M \) и радиусом \( r \). Точки \( A \) и \( B \) — точки пересечения этой окружности с данными окружностями. Изменяя \( r \), найдём такие точки \( A \) и \( B \), что угол \( AMB = 90^\circ \). Тогда треугольник \( MAB \) — искомый прямоугольный равнобедренный.

Пусть даны две окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) и радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \), а также точка \( M \), лежащая вне этих окружностей. Нужно построить прямоугольный равнобедренный треугольник \( MAB \), где точки \( A \) и \( B \) лежат на данных окружностях, а угол при вершине \( M \) равен \( 90^\circ \).

Так как треугольник равнобедренный с прямым углом при \( M \), то стороны \( MA \) и \( MB \) равны, и угол \( AMB = 90^\circ \).

Построим окружность с центром в точке \( M \) и радиусом \( r \), где \( r \) — длина катетов треугольника, то есть \( r = MA = MB \).

Точки \( A \) и \( B \) должны лежать на пересечении этой окружности с центром \( M \) и радиусом \( r \) с двумя заданными окружностями. Тогда \( A \in \) первая окружность, \( B \in \) вторая окружность, и одновременно \( A, B \in \) окружность с центром \( M \).

Условие \( \angle AMB = 90^\circ \) эквивалентно тому, что \( M \) лежит на окружности с диаметром \( AB \). Поскольку \( MA = MB = r \), точки \( A \) и \( B \) лежат на окружности радиуса \( r \) с центром \( M \), а \( AB \) — хорда этой окружности.

Для нахождения \( A \) и \( B \) нужно подобрать радиус \( r \) так, чтобы окружность с центром \( M \) пересекала каждую из данных окружностей в точках \( A \) и \( B \), и при этом угол \( AMB = 90^\circ \).

Практически это делается так: изменяя \( r \), найти пересечения окружности с центром \( M \) и радиусом \( r \) с первой и второй окружностями. Если точки пересечения существуют, проверить угол \( AMB \). При правильном \( r \) угол будет равен \( 90^\circ \).

Таким образом, искомый треугольник \( MAB \) построен с вершиной в \( M \), где \( A \) и \( B \) лежат на данных окружностях, а \( MA = MB = r \), и угол \( AMB = 90^\circ \).