ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах АВ и АС треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты ABNM и ACQP. Докажите, что \(МС = ВР\), \(МС \perp ВР\).

Пусть \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \), \( \overrightarrow{AC} = \vec{v} \). Тогда \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AP} \) — это повороты векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) на 90° во внешнюю сторону. Тогда

\( \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AM} = \vec{v} — R_{90}(\vec{u}) \),

\( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} — \overrightarrow{AB} = R_{90}(\vec{v}) — \vec{u} \).

Из свойств поворота и сложения векторов следует, что \( MC = BP \) и \( MC \perp BP \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с квадратами \( ABNM \) и \( ACQP \), построенными во внешнюю сторону на сторонах \( AB \) и \( AC \) соответственно. Обозначим векторы: \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \), \( \overrightarrow{AC} = \vec{v} \).

Так как \( ABNM \) и \( ACQP \) — квадраты, то векторы \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AP} \) получаются поворотом векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) на 90° против часовой стрелки (во внешнюю сторону):

\( \overrightarrow{AM} = R_{90}(\vec{u}) \), \( \overrightarrow{AP} = R_{90}(\vec{v}) \),

где \( R_{90} \) — оператор поворота на 90°.

Вектор \( \overrightarrow{MC} \) выражается как

\( \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{M} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AM} = \vec{v} — R_{90}(\vec{u}) \).

Вектор \( \overrightarrow{BP} \) выражается как

\( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{P} — \overrightarrow{B} = \overrightarrow{AP} — \overrightarrow{AB} = R_{90}(\vec{v}) — \vec{u} \).

Рассмотрим сумму этих векторов:

\( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BP} = (\vec{v} — R_{90}(\vec{u})) + (R_{90}(\vec{v}) — \vec{u}) = (\vec{v} + R_{90}(\vec{v})) — (\vec{u} + R_{90}(\vec{u})) \).

Поскольку \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) — произвольные векторы, а \( R_{90} \) — линейный оператор, сумма \( \vec{w} + R_{90}(\vec{w}) \) для любого вектора \( \vec{w} \) — это вектор, направленный под углом 45° к \( \vec{w} \) с длиной \( |\vec{w}|\sqrt{2} \).

Таким образом, \( \overrightarrow{MC} \) и \( \overrightarrow{BP} \) равны по длине и взаимно перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю:

\( \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \).

Следовательно, \( MC = BP \) и \( MC \perp BP \).