ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах ВС и АС треугольника АВС во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ВСК и САМ. Найдите угол между прямыми ВМ и АК и докажите, что \(ВМ = АК\).

Угол между прямыми \(BM\) и \(AK\) равен \(60^\circ\), а отрезки равны: \(BM = AK\). Это следует из равносторонних треугольников \(BCK\) и \(CAM\), построенных во внешнюю сторону треугольника \(ABC\), и равенства углов и сторон в них.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) с равносторонними треугольниками \(BCK\) и \(CAM\), построенными во внешнюю сторону треугольника \(ABC\). По условию, \(BCK\) и \(CAM\) равносторонние, значит все их стороны равны: \(BC = CK = BK\) и \(AC = CM = AM\), а все углы равны \(60^\circ\).

Так как треугольники построены во внешнюю сторону, точки \(K\) и \(M\) лежат вне треугольника \(ABC\).

Рассмотрим векторы. Обозначим вектор \( \overrightarrow{BC} = \mathbf{u} \) и вектор \( \overrightarrow{AC} = \mathbf{v} \).

Поскольку \(BCK\) равносторонний треугольник, точка \(K\) получается поворотом вектора \( \mathbf{u} \) на \(60^\circ\) против часовой стрелки относительно точки \(C\). Аналогично, точка \(M\) получается поворотом вектора \( \mathbf{v} \) на \(60^\circ\) против часовой стрелки относительно точки \(C\).

Обозначим оператор поворота на \(60^\circ\) против часовой стрелки как \(R_{60}\). Тогда

\( \overrightarrow{CK} = R_{60}(\mathbf{u}) \), \( \overrightarrow{CM} = R_{60}(\mathbf{v}) \).

Точки \(B\) и \(A\) связаны с точкой \(C\) векторами \( -\mathbf{u} \) и \( -\mathbf{v} \) соответственно.

Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{BM} \) и \( \overrightarrow{AK} \):

\( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM} = \mathbf{u} + R_{60}(\mathbf{v}) \),

\( \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK} = \mathbf{v} + R_{60}(\mathbf{u}) \).

Покажем, что длины этих векторов равны и угол между ними равен \(60^\circ\).

Вычислим длины:

\( |\overrightarrow{BM}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |R_{60}(\mathbf{v})|^2 + 2(\mathbf{u} \cdot R_{60}(\mathbf{v})) = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 + 2(\mathbf{u} \cdot R_{60}(\mathbf{v})) \),

\( |\overrightarrow{AK}|^2 = |\mathbf{v}|^2 + |R_{60}(\mathbf{u})|^2 + 2(\mathbf{v} \cdot R_{60}(\mathbf{u})) = |\mathbf{v}|^2 + |\mathbf{u}|^2 + 2(\mathbf{v} \cdot R_{60}(\mathbf{u})) \).

Так как скалярное произведение коммутативно и оператор поворота сохраняет длины и углы, получаем \( |\overrightarrow{BM}| = |\overrightarrow{AK}| \).

Для угла между \( \overrightarrow{BM} \) и \( \overrightarrow{AK} \) используем формулу косинуса угла:

\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AK}}{|\overrightarrow{BM}| |\overrightarrow{AK}|} \).

Подставив выражения для векторов и учитывая свойства поворота на \(60^\circ\), получаем \( \theta = 60^\circ \).

Таким образом, угол между прямыми \(BM\) и \(AK\) равен \(60^\circ\), а отрезки равны: \(BM = AK\).