ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах АВ и AD квадрата ABCD отметили точки К и М соответственно так, что \(АК + АМ = АВ\). Найдите угол КОМ, где точка О центр квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), тогда \(K=(x,0)\), \(M=(0,y)\), где \(x+y=a\). Центр квадрата \(O=(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\). Векторы \(\overrightarrow{OK} = (x-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\) и \(\overrightarrow{OM} = (-\frac{a}{2}, y-\frac{a}{2})\). Скалярное произведение равно \(-\frac{a}{2}(x+y — a) = 0\), значит угол между векторами 90 градусов. Ответ: \(90^\circ\).

Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(a\). Координаты вершин примем так: \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(D = (0,a)\), \(C = (a,a)\).

Точка \(K\) лежит на стороне \(AB\), значит \(K = (x,0)\), где \(0 \leq x \leq a\). Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\), значит \(M = (0,y)\), где \(0 \leq y \leq a\).

По условию \(AK + AM = AB\), то есть \(x + y = a\).

Центр квадрата \(O\) — середина диагонали \(AC\), координаты \(O = ( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\).

Вектор \(\overrightarrow{OK} = K — O = ( x — \frac{a}{2}, 0 — \frac{a}{2} ) = ( x — \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} )\).

Вектор \(\overrightarrow{OM} = M — O = ( 0 — \frac{a}{2}, y — \frac{a}{2} ) = ( -\frac{a}{2}, y — \frac{a}{2} )\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{OM} = ( x — \frac{a}{2} )( -\frac{a}{2} ) + ( -\frac{a}{2} )( y — \frac{a}{2} )\).

Раскроем скобки: \(= -\frac{a}{2} ( x — \frac{a}{2} ) — \frac{a}{2} ( y — \frac{a}{2} ) = -\frac{a}{2} ( x + y — a )\).

По условию \(x + y = a\), значит скалярное произведение равно 0.

Если скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними равен \(90^\circ\).

Ответ: угол \(KOM = 90^\circ\).