ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах АВ и АС равностороннего треугольника АВС отметили точки К и М соответственно так, что \(АК + АМ = АВ\). Найдите угол КОМ, где точка О центр треугольника.

В равностороннем треугольнике \( ABC \) с центром \( O \) точки \( K \) и \( M \) на сторонах \( AB \) и \( AC \) таковы, что \( AK + AM = AB \). Тогда угол \( \angle KOM = 120^\circ \).

Рассмотрим равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( a \). Пусть точки \( K \) и \( M \) лежат на сторонах \( AB \) и \( AC \) соответственно, и выполнено условие \( AK + AM = AB = a \).

Поставим систему координат так, чтобы \( A = (0,0) \), \( B = (a,0) \), \( C = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \).

Тогда точка \( K \) на стороне \( AB \) имеет координаты \( K = (x, 0) \), где \( 0 \leq x \leq a \).

Точка \( M \) на стороне \( AC \) имеет координаты \( M = \left( \frac{a}{2} t, \frac{a \sqrt{3}}{2} t \right) \), где \( 0 \leq t \leq 1 \).

Из условия \( AK + AM = a \) следует \( x + a t = a \), откуда \( t = \frac{a — x}{a} \).

Подставим \( t \):

\( M = \left( \frac{a}{2} \cdot \frac{a — x}{a}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a — x}{a} \right) = \left( \frac{a — x}{2}, \frac{(a — x) \sqrt{3}}{2} \right) \).

Центр \( O \) равностороннего треугольника — точка пересечения медиан, с координатами:

\( O = \left( \frac{0 + a + \frac{a}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a \sqrt{3}}{2}}{3} \right) = \left( \frac{3a/2}{3}, \frac{a \sqrt{3}/2}{3} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6} \right) \).

Вычислим векторы \( \overrightarrow{OK} = K — O = \left( x — \frac{a}{2}, — \frac{a \sqrt{3}}{6} \right) \) и \( \overrightarrow{OM} = M — O = \left( \frac{a — x}{2} — \frac{a}{2}, \frac{(a — x) \sqrt{3}}{2} — \frac{a \sqrt{3}}{6} \right) = \left( — \frac{x}{2}, \sqrt{3} \left( \frac{a — x}{2} — \frac{a}{6} \right) \right) \).

Упростим вторую координату \( y \) вектора \( \overrightarrow{OM} \):

\( \frac{a — x}{2} — \frac{a}{6} = \frac{3(a — x) — a}{6} = \frac{2a — 3x}{6} \).

Значит \( \overrightarrow{OM} = \left( — \frac{x}{2}, \frac{\sqrt{3}(2a — 3x)}{6} \right) \).

Скалярное произведение:

\( \overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{OM} = \left( x — \frac{a}{2} \right) \left( — \frac{x}{2} \right) + \left( — \frac{a \sqrt{3}}{6} \right) \left( \frac{\sqrt{3}(2a — 3x)}{6} \right) \).

Раскроем скобки и упростим:

\( = — \frac{x^2}{2} + \frac{a x}{4} — \frac{a}{6} \cdot \frac{2a — 3x}{6} \cdot 3 = — \frac{x^2}{2} + \frac{a x}{4} — \frac{a (2a — 3x)}{12} \).

Раскроем последний множитель:

\( = — \frac{x^2}{2} + \frac{a x}{4} — \frac{2a^2 — 3a x}{12} = — \frac{x^2}{2} + \frac{a x}{4} — \frac{a^2}{6} + \frac{a x}{4} = — \frac{x^2}{2} + \frac{a x}{2} — \frac{a^2}{6} \).

Найдем длины векторов:

\( |\overrightarrow{OK}| = \sqrt{ \left( x — \frac{a}{2} \right)^2 + \left( — \frac{a \sqrt{3}}{6} \right)^2 } = \sqrt{ \left( x — \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{a^2}{12} } \).

\( |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{ \left( — \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}(2a — 3x)}{6} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{x^2}{4} + \frac{(2a — 3x)^2}{12} } \).

Угол между векторами \( \overrightarrow{OK} \) и \( \overrightarrow{OM} \) вычисляется по формуле:

\( \cos \angle KOM = \frac{ \overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{OM} }{ |\overrightarrow{OK}| \cdot |\overrightarrow{OM}| } \).

Подставляя значения, при любых \( x \) от 0 до \( a \) получаем, что \( \cos \angle KOM = — \frac{1}{2} \), значит

\( \angle KOM = 120^\circ \).