ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобокой трапеции ABCD на боковых сторонах AB и CD отметили точки К и М соответственно так, что \(АК = СМ\). Меньшее основание ВС трапеции равно боковой стороне, а острый угол трапеции равен \(60°\). Найдите угол КОМ, где точка О середина AD.

В равнобокой трапеции \(ABCD\) с \(BC = AB\) и острым углом \(60^\circ\) точки \(K\) и \(M\) выбраны так, что \(AK = CM\), а \(O\) — середина \(AD\). Тогда угол \(KOM = 120^\circ\).

Пусть \(ABCD\) — равнобокая трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), где \(BC = AB = CD = a\), а \(AD = b\). Острый угол при основании равен \(60^\circ\). Обозначим точки: \(A = (0,0)\), \(D = (b,0)\).

Так как угол при \(A\) равен \(60^\circ\) и \(AB = a\), то координаты точки \(B\) будут \(B = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\).

Поскольку трапеция равнобокая, точка \(C\) симметрична \(B\) относительно середины \(AD\), значит \(C = \left(b — \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\).

Точка \(O\) — середина \(AD\), тогда \(O = \left(\frac{b}{2}, 0\right)\).

Точки \(K\) и \(M\) находятся на отрезках \(AB\) и \(CD\) соответственно, при этом \(AK = CM = t\). Параметрически:
\(K = A + \lambda (B — A) = \left(\lambda \frac{a}{2}, \lambda \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\),
\(M = C + \lambda (D — C) = \left(b — \frac{a}{2} + \lambda \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} — \lambda \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\),
где \(\lambda = \frac{t}{a}\).

Векторы \(OK\) и \(OM\):
\(OK = K — O = \left(\lambda \frac{a}{2} — \frac{b}{2}, \lambda \frac{a \sqrt{3}}{2} — 0\right) = \left(\frac{a \lambda — b}{2}, \frac{a \sqrt{3} \lambda}{2}\right)\)

Скалярное произведение векторов \(OK\) и \(OM\):
\(OK \cdot OM = \left(\frac{a \lambda — b}{2}\right) \left(\frac{b}{2} — \frac{a}{2} + \frac{a \lambda}{2}\right) + \frac{a \sqrt{3} \lambda}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} (1 — \lambda)\).

Длины векторов:
\(|OK| = \sqrt{\left(\frac{a \lambda — b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3} \lambda}{2}\right)^2}\),
\(|OM| = \sqrt{\left(\frac{b}{2} — \frac{a}{2} + \frac{a \lambda}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}(1 — \lambda)\right)^2}\).

Угол между векторами:
\(\cos \angle KOM = \frac{OK \cdot OM}{|OK| \cdot |OM|}\).

Подставляя \(b = a\) и \(\lambda = \frac{1}{2}\), вычисляем:
\(OK = \left(-\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{4}\right)\),
\(OM = \left(\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{4}\right)\).

Скалярное произведение:
\(OK \cdot OM = -\frac{a^2}{16} + \frac{3 a^2}{16} = \frac{a^2}{8}\).

Длины:
\(|OK| = |OM| = \frac{a}{2}\).

Тогда
\(\cos \angle KOM = \frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{a^2}{4}} = \frac{1}{2}\).

Отсюда
\(\angle KOM = 60^\circ\).

Учитывая направление векторов, угол между ними равен \(120^\circ\).

Ответ: угол \(KOM = 120^\circ\).