ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобокой трапеции ABCD на боковых сторонах AB и CD отметили точки К и М соответственно так, что \(АК = СМ\). Меньшее основание ВС трапеции равно боковой стороне, а острый угол трапеции равен \(60°\). Найдите угол КОМ, где точка О середина AD.

В ромбе \(ABCD\) с углом \(A = 120^\circ\) точки \(K\) и \(M\) на сторонах \(AB\) и \(AD\) таковы, что \(BK = AM\). Тогда угол \(KCM = 60^\circ\).

Рассмотрим ромб \(ABCD\) с углом \(A = 120^\circ\). По свойствам ромба все стороны равны, то есть \(AB = BC = CD = DA = a\). Противоположные углы равны, значит \(C\) также равен \(120^\circ\), а углы \(B\) и \(D\) равны \(60^\circ\).

Расположим ромб в координатной плоскости. Пусть \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\). Тогда сторона \(AD\) образует угол \(120^\circ\) с осью \(x\), и координаты точки \(D\) будут \(D = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\). Точка \(C\) будет суммой векторов \(B\) и \(D\), то есть \(C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\).

Точки \(K\) и \(M\) лежат на отрезках \(AB\) и \(AD\) соответственно. Обозначим \(K = (x_K, 0)\), где \(0 \leq x_K \leq a\), а \(M = t D = \left(-\frac{a t}{2}, \frac{a t \sqrt{3}}{2}\right)\), где \(0 \leq t \leq 1\).

По условию \(BK = AM\). Длина \(BK = a — x_K\), длина \(AM = a t\). Следовательно, \(a — x_K = a t\), откуда \(x_K = a (1 — t)\).

Вычислим векторы \(\overrightarrow{CK}\) и \(\overrightarrow{CM}\): \(\overrightarrow{CK} = \left(a (1 — t) — \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\), \(\overrightarrow{CM} = \left(-\frac{a}{2} (t + 1), \frac{a \sqrt{3}}{2} (t — 1)\right)\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{CM} = a^2 \left(\frac{t^2}{2} — \frac{t}{2} + \frac{1}{2}\right)\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{CK}| = a \sqrt{\left(\frac{1}{2} — t\right)^2 + \frac{3}{4}}\), \(|\overrightarrow{CM}| = a \sqrt{t^2 — t + 1}\).

Косинус угла между векторами равен \(\cos \angle KCM = \frac{\frac{t^2}{2} — \frac{t}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2} — t\right)^2 + \frac{3}{4}} \cdot \sqrt{t^2 — t + 1}}\).

Подставляя \(t = \frac{1}{2}\), получаем \(\cos \angle KCM = \frac{1}{2}\), значит \(\angle KCM = 60^\circ\).

Ответ: угол \(KCM\) равен \(60^\circ\).