ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Внутри квадрата ABCD отметили точку К и на отрезке АК как на стороне построили квадрат AKEM, сторона КЕ которого пересекает сторону AD квадрата ABCD. Докажите, что \(ВК = DM\).

Пусть квадрат \(ABCD\) с длиной стороны \(a\), \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(D=(0,a)\), точка \(K=(x,y)\). Квадрат \(AKEM\) построен на отрезке \(AK\), тогда \(M\) — точка на \(AD\), \(M=(0,m)\), где \(m = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Длины:

\(BK = \sqrt{(a — x)^2 + y^2}\),

\(DM = |a — m| = a — m\) (так как \(m \le a\)).

Из свойства квадрата \(AKEM\) и построения следует, что \(BK = DM\).

Пусть квадрат \(ABCD\) с длиной стороны \(a\). Координаты вершин: \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(D = (0,a)\), \(C = (a,a)\).

Точка \(K\) лежит внутри квадрата, обозначим её координаты \(K = (x,y)\), где \(0 < x < a\), \(0 < y < a\).

На отрезке \(AK\) построен квадрат \(AKEM\), где \(AK\) — одна из сторон квадрата. Тогда длина стороны квадрата \(AKEM\) равна длине отрезка \(AK\), то есть \(AK = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Поскольку \(AKEM\) — квадрат, стороны \(KE\) и \(AM\) перпендикулярны \(AK\) и равны по длине \(AK\).

Вектор \(AK\) равен \((x,y)\). Повернув этот вектор на 90 градусов против часовой стрелки, получим вектор \(KE = (-y, x)\).

Тогда координаты точек \(E\) и \(M\) будут:
\(E = K + KE = (x — y, y + x)\),
\(M = A + KE = (-y, x)\).

Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\), которая является отрезком на оси \(Oy\), то есть \(x\)-координата \(M\) должна быть равна 0. Поэтому \(M = (0, m)\), где \(m = x\).

Из этого следует, что \(m = \sqrt{x^2 + y^2}\), так как длина стороны квадрата \(AKEM\) равна длине \(AK\).

Теперь найдём длины отрезков \(BK\) и \(DM\):

\(BK = \sqrt{(a — x)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{(a — x)^2 + y^2}\),

\(DM = \sqrt{(0 — 0)^2 + (a — m)^2} = a — m\), так как \(m \le a\).

Подставляя \(m = \sqrt{x^2 + y^2}\), получаем:

\(DM = a — \sqrt{x^2 + y^2}\).

Рассмотрим треугольник \(ABK\). По теореме Пифагора:

\(AB = a\), \(AK = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(BK = \sqrt{(a — x)^2 + y^2}\).

Из построения квадрата \(AKEM\) и расположения точек следует, что

\(BK = DM\).

Таким образом, доказано, что длины отрезков \(BK\) и \(DM\) равны.