ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На прямой І отметили последовательно точки А, В и С, а на отрезках АВ и АС в разных полуплоскостях относительно прямой І построили равносторонние треугольники ABD и ACN. Докажите, что середины К и L соответственно отрезков DC и BN и точка А являются вершинами равностороннего треугольника.

Пусть \(A, B, C\) лежат на прямой, \(ABD\) и \(ACN\) — равносторонние треугольники с вершинами \(D\) и \(N\) по разные стороны от прямой. Тогда середины \(K\) и \(L\) отрезков \(DC\) и \(BN\) имеют координаты:

\(K = \left(\frac{b + 2c}{4}, \frac{\sqrt{3} b}{4}\right)\), \(L = \left(\frac{2b + c}{4}, -\frac{\sqrt{3} c}{4}\right)\), где \(b = AB\), \(c = AC\).

Вычисляя длины сторон треугольника \(AKL\), получаем:

\(AK^2 = AL^2 = KL^2 = \frac{b^2 + bc + c^2}{4}\).

Следовательно, треугольник \(AKL\) равносторонний.

Пусть точки \( A, B, C \) лежат на прямой \( l \) так, что \( A = (0,0) \), \( B = (b,0) \), \( C = (c,0) \), где \( 0 < b < c \).

Так как \( ABD \) — равносторонний треугольник с основанием \( AB \), точка \( D \) находится на расстоянии \( \frac{\sqrt{3}}{2} b \) перпендикулярно прямой \( l \) и имеет координаты \( D = \left(\frac{b}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} b\right) \).

Аналогично, \( ACN \) — равносторонний треугольник с основанием \( AC \), вершина \( N \) лежит в противоположной полуплоскости и имеет координаты \( N = \left(\frac{c}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} c\right) \).

Точка \( K \) — середина отрезка \( DC \), значит

\( K = \left(\frac{\frac{b}{2} + c}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} b + 0}{2}\right) = \left(\frac{b + 2c}{4}, \frac{\sqrt{3} b}{4}\right) \).

Точка \( L \) — середина отрезка \( BN \), значит

\( L = \left(\frac{b + \frac{c}{2}}{2}, \frac{0 — \frac{\sqrt{3}}{2} c}{2}\right) = \left(\frac{2b + c}{4}, -\frac{\sqrt{3} c}{4}\right) \).

Вычислим длину \( AK \):

\( AK = \sqrt{\left(\frac{b + 2c}{4} — 0\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3} b}{4} — 0\right)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{(b + 2c)^2 + 3 b^2} \).

Вычислим длину \( AL \):

\( AL = \sqrt{\left(\frac{2b + c}{4} — 0\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3} c}{4} — 0\right)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{(2b + c)^2 + 3 c^2} \).

Вычислим длину \( KL \):

\( KL = \sqrt{\left(\frac{2b + c}{4} — \frac{b + 2c}{4}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3} c}{4} — \frac{\sqrt{3} b}{4}\right)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{(b — c)^2 + 3 (b + c)^2} \).

Упростим выражения:

\( AK^2 = \frac{1}{16} \left((b + 2c)^2 + 3 b^2\right) = \frac{1}{16} (b^2 + 4 b c +\)
\(+ 4 c^2 + 3 b^2) = \frac{1}{16} (4 b^2 + 4 b c + 4 c^2) = \frac{b^2 + b c + c^2}{4} \).

\( AL^2 = \frac{1}{16} \left((2b + c)^2 + 3 c^2\right) = \frac{1}{16} (4 b^2 + 4 b c +\)
\(+ c^2 + 3 c^2) = \frac{1}{16} (4 b^2 + 4 b c + 4 c^2) = \frac{b^2 + b c + c^2}{4} \).

\( KL^2 = \frac{1}{16} \left((b — c)^2 + 3 (b + c)^2\right) = \frac{1}{16} (b^2 — 2 b c + c^2 + 3 b^2 + 6 b c + 3 c^2) =\)
\( \frac{1}{16} (4 b^2 + 4 b c + 4 c^2) = \frac{b^2 + b c + c^2}{4} \).

Так как \( AK^2 = AL^2 = KL^2 \), то \( AK = AL = KL \), следовательно, треугольник \( AKL \) равносторонний.