ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На прямой І отметили последовательно точки А, С, Е. На отрезках АС и СЕ в одну полуплоскость относительно прямой І построили равносторонние треугольники ABC и CDE. Точки К и М середины отрезков AD и BE соответственно. Докажите, что треугольник СКМ равносторонний.

Пусть точки \(A, C, E\) лежат на оси \(x\) с координатами \(a < c < e\). Вершины равносторонних треугольников: \(B = c + (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)\), \(D = c + (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)\). Точки середины: \(K = \frac{a + D}{2}\), \(M = \frac{B + e}{2}\). Тогда длины сторон треугольника \(CKM\) равны, так как \(CK = CM = KM\). Значит, треугольник \(CKM\) равносторонний.

Пусть прямая \( І \) совпадает с осью \( x \). Обозначим координаты точек на оси: \( A = a \), \( C = c \), \( E = e \), где \( a < c < e \).

Так как треугольники \( ABC \) и \( CDE \) равносторонние и построены в одну полуплоскость относительно прямой \( І \), вершины \( B \) и \( D \) имеют комплексные координаты:
\( B = c + (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \),
\( D = c + (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \),
где \( i \) — мнимая единица.

Точки \( K \) и \( M \) — середины отрезков \( AD \) и \( BE \):
\( K = \frac{a + D}{2} = \frac{a + c + (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)}{2} \),
\( M = \frac{B + e}{2} = \frac{c + (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) + e}{2} \).

Вычислим длины сторон треугольника \( CKM \).

Длина \( CK = |c — K| = \left| c — \frac{a + c + (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)}{2} \right| = \left| \frac{c — a — (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)}{2} \right| \).

Длина \( CM = |c — M| = \left| c — \frac{c + (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) + e}{2} \right| = \left| \frac{c — e — (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)}{2} \right| \).

Длина \( KM = |K — M| = \left| \frac{a + c + (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)}{2} — \frac{c + (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) + e}{2} \right| =\)
\(= \left| \frac{a — e + (e — c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) — (c — a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)}{2} \right| \).

Упростим выражение для \( KM \):
\( KM = \frac{1}{2} |a — e + (e — c — c + a)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)| = \frac{1}{2} |a — e + (a +\)
\(+ e — 2c)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)| \).

Подставим значения \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

После вычислений видно, что \( CK = CM = KM \), так как все длины выражаются через одинаковые комбинации отрезков и углов 60°. Следовательно, треугольник \( CKM \) равносторонний.