ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны выпуклый четырёхугольник ABCD и точка О внутри него. Известно, что \(ZAOB = ZCOD = 90°\), \(OA = OB\), \(OC = OD\). Пусть точки K, L и M середины отрезков AB, ВС и CD соответственно. Докажите, что треугольник KLM равнобедренный и прямоугольный.

Пусть \( O \) в начале координат, тогда \( A = (r,0) \), \( B = (0,r) \), \( C = (s \cos \theta, s \sin \theta) \), \( D = (-s \sin \theta, s \cos \theta) \). Точки \( K, L, M \) — середины отрезков \( AB, BC, CD \) соответственно, с координатами \( K = \left( \frac{r}{2}, \frac{r}{2} \right) \), \( L = \left( \frac{s \cos \theta}{2}, \frac{r + s \sin \theta}{2} \right) \), \( M = \left( \frac{s(\cos \theta — \sin \theta)}{2}, \frac{s(\sin \theta + \cos \theta)}{2} \right) \). Векторы \( \vec{KL} = \left( \frac{s \cos \theta — r}{2}, \frac{s \sin \theta}{2} \right) \) и \( \vec{LM} = \left( -\frac{s \sin \theta}{2}, \frac{s \cos \theta — r}{2} \right) \) перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю. Кроме того, длины этих векторов равны, значит треугольник \( KLM \) равнобедренный и прямоугольный.

Четырёхугольник \( ABCD \) выпуклый, точка \( O \) внутри него, при этом \( \angle AOB = \angle COD = 90^\circ \), \( OA = OB \), \( OC = OD \). Точки \( K, L, M \) — середины отрезков \( AB, BC, CD \).

Рассмотрим систему координат с началом в точке \( O \). Из условия \( OA = OB = r \) и \( \angle AOB = 90^\circ \) можно задать координаты \( A = (r, 0) \) и \( B = (0, r) \).

Для точек \( C \) и \( D \) с условием \( OC = OD = s \) и \( \angle COD = 90^\circ \) введём угол поворота \( \theta \). Тогда \( C = (s \cos \theta, s \sin \theta) \), \( D = (-s \sin \theta, s \cos \theta) \).

Найдём координаты точек \( K, L, M \), являющихся серединами соответствующих отрезков:

\( K = \left( \frac{r + 0}{2}, \frac{0 + r}{2} \right) = \left( \frac{r}{2}, \frac{r}{2} \right) \),

\( L = \left( \frac{0 + s \cos \theta}{2}, \frac{r + s \sin \theta}{2} \right) = \left( \frac{s \cos \theta}{2}, \frac{r + s \sin \theta}{2} \right) \),

\( M = \left( \frac{s \cos \theta — s \sin \theta}{2}, \frac{s \sin \theta + s \cos \theta}{2} \right) = \frac{s}{2}(\cos \theta — \sin \theta, \sin \theta + \cos \theta) \).

Вычислим вектор \( \vec{KL} = L — K \):

\( \vec{KL} = \left( \frac{s \cos \theta}{2} — \frac{r}{2}, \frac{r + s \sin \theta}{2} — \frac{r}{2} \right) = \left( \frac{s \cos \theta — r}{2}, \frac{s \sin \theta}{2} \right) \).

Вычислим вектор \( \vec{LM} = M — L \):

\( \vec{LM}_x = \frac{s}{2}(\cos \theta — \sin \theta) — \frac{s \cos \theta}{2} = \frac{s}{2}(-\sin \theta) \),

\( \vec{LM}_y = \frac{s}{2}(\sin \theta + \cos \theta) — \frac{r + s \sin \theta}{2} = \frac{s \cos \theta — r}{2} \).

Итого,

\( \vec{LM} = \left( -\frac{s \sin \theta}{2}, \frac{s \cos \theta — r}{2} \right) \).

Проверим перпендикулярность векторов \( \vec{KL} \) и \( \vec{LM} \), вычислив их скалярное произведение:

\( \vec{KL} \cdot \vec{LM} = \left( \frac{s \cos \theta — r}{2} \right) \left( -\frac{s \sin \theta}{2} \right) + \left( \frac{s \sin \theta}{2} \right) \left( \frac{s \cos \theta — r}{2} \right) \).

Раскроем скобки:

\( = \frac{1}{4} \left[ -(s \cos \theta — r) s \sin \theta + s \sin \theta (s \cos \theta — r) \right] = 0 \).

Угол между векторами прямой.

Вычислим длины векторов:

\( |\vec{KL}|^2 = \left( \frac{s \cos \theta — r}{2} \right)^2 + \left( \frac{s \sin \theta}{2} \right)^2 = \frac{(s \cos \theta — r)^2 + s^2 \sin^2 \theta}{4} \),

\( |\vec{LM}|^2 = \left( -\frac{s \sin \theta}{2} \right)^2 + \left( \frac{s \cos \theta — r}{2} \right)^2 = \frac{s^2 \sin^2 \theta + (s \cos \theta — r)^2}{4} \).

Обе длины равны, значит \( |\vec{KL}| = |\vec{LM}| \).

Таким образом, треугольник \( KLM \) имеет прямой угол между сторонами \( KL \) и \( LM \), а эти стороны равны по длине. Значит, треугольник \( KLM \) равнобедренный и прямоугольный.