ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трём данным параллельным прямым.

Пусть параллельные прямые заданы уровнями \(y = y_1\), \(y = y_2\), \(y = y_3\) с расстояниями \(d_1 = y_1 — y_2\), \(d_2 = y_2 — y_3\). Выберем точку \(A = (0, y_1)\). Тогда точки \(B = (x, y_2)\) и \(C = (z, y_3)\) должны удовлетворять равенству сторон равностороннего треугольника:

\(AB = BC = CA\).

Из условия равенства сторон:

1) \(AB^2 = (x — 0)^2 + d_1^2 = x^2 + d_1^2\)

2) \(BC^2 = (z — x)^2 + d_2^2\)

3) \(CA^2 = (z — 0)^2 + (d_1 + d_2)^2 = z^2 + (d_1 + d_2)^2\)

Из равенств \(AB = BC\) и \(BC = CA\) получаем систему:

\(x^2 + d_1^2 = (z — x)^2 + d_2^2\)

\((z — x)^2 + d_2^2 = z^2 + (d_1 + d_2)^2\)

Решая эту систему относительно \(x\) и \(z\), находим координаты точек \(B\) и \(C\). Таким образом, вершины треугольника:

\(A = (0, y_1)\), \(B = (x, y_2)\), \(C = (z, y_3)\) образуют равносторонний треугольник.

Пусть даны три параллельные прямые \(\ell_1\), \(\ell_2\), \(\ell_3\) с уравнениями \(y = y_1\), \(y = y_2\), \(y = y_3\), где \(y_1 > y_2 > y_3\). Обозначим расстояния между ними как \(d_1 = y_1 — y_2\) и \(d_2 = y_2 — y_3\).

Выберем точку \(A\) на прямой \(\ell_1\) с координатами \(A = (0, y_1)\). Точки \(B\) и \(C\) лежат соответственно на \(\ell_2\) и \(\ell_3\), их координаты запишем как \(B = (x, y_2)\) и \(C = (z, y_3)\), где \(x\) и \(z\) — неизвестные.

Для равностороннего треугольника должны выполняться равенства длин всех сторон:

\(AB = BC = CA\).

Расчитаем квадрат длины каждой стороны:

\(AB^2 = (x — 0)^2 + (y_2 — y_1)^2 = x^2 + d_1^2\),

\(BC^2 = (z — x)^2 + (y_3 — y_2)^2 = (z — x)^2 + d_2^2\),

\(CA^2 = (z — 0)^2 + (y_3 — y_1)^2 = z^2 + (d_1 + d_2)^2\).

Из равенства \(AB = BC\) получаем:

\(x^2 + d_1^2 = (z — x)^2 + d_2^2\).

Из равенства \(BC = CA\) получаем:

\((z — x)^2 + d_2^2 = z^2 + (d_1 + d_2)^2\).

Раскроем скобки и упростим первое уравнение:

\(x^2 + d_1^2 = z^2 — 2xz + x^2 + d_2^2\),

что сокращается до

\(d_1^2 = z^2 — 2xz + d_2^2\),

или

\(z^2 — 2xz = d_1^2 — d_2^2\).

Из второго уравнения:

\((z — x)^2 + d_2^2 = z^2 + (d_1 + d_2)^2\),

раскроем:

\(z^2 — 2xz + x^2 + d_2^2 = z^2 + d_1^2 + 2 d_1 d_2 + d_2^2\),

сократим \(z^2\) и \(d_2^2\):

\(-2 x z + x^2 = d_1^2 + 2 d_1 d_2\).

Итоговая система:

1) \(z^2 — 2 x z = d_1^2 — d_2^2\),

2) \(-2 x z + x^2 = d_1^2 + 2 d_1 d_2\).

Из первого уравнения выразим \(z^2\):

\(z^2 = 2 x z + d_1^2 — d_2^2\).

Подставим \(z^2\) во второе уравнение:

\(-2 x z + x^2 = d_1^2 + 2 d_1 d_2\).

Система двух уравнений с двумя неизвестными \(x\) и \(z\) решается стандартными методами (например, подстановкой или дискриминантом).

Решив систему, находим значения \(x\) и \(z\). Тогда вершины равностороннего треугольника имеют координаты:

\(A = (0, y_1)\),

\(B = (x, y_2)\),

\(C = (z, y_3)\).