ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трём данным параллельным прямым.
Пусть расстояние между параллельными прямыми \( l_1 \), \( l_2 \), \( l_3 \) равно \( h \). Тогда сторона квадрата \( s = h \sqrt{2} \). Выбираем точку \( B \) на \( l_2 \), точки \( A \) и \( C \) находятся на \( l_1 \) и \( l_3 \) соответственно, смещённые от \( B \) на \( s \) по горизонтали в разные стороны. Четвёртая вершина \( D \) находится по формуле \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{C} — \vec{B} \).
Пусть даны три параллельные прямые \( l_1 \), \( l_2 \), \( l_3 \), расположенные на равных расстояниях друг от друга. Обозначим расстояние между соседними прямыми через \( h \).
Выберем точку \( B \) на средней прямой \( l_2 \). Эта точка будет одной из вершин искомого квадрата.
Так как квадрат имеет все стороны равные и углы по 90 градусов, то стороны квадрата будут наклонены под углом 45 градусов к прямым \( l_i \), так как три вершины лежат на параллельных прямых.
Обозначим сторону квадрата через \( s \). Тогда расстояние между параллельными прямыми \( h \) является проекцией стороны квадрата на направление перпендикулярное прямым \( l_i \).
Так как сторона квадрата наклонена под углом 45 градусов, то проекция стороны на направление перпендикулярное прямым равна \( s \sin 45^\circ = \frac{s}{\sqrt{2}} \).
Поскольку эта проекция равна расстоянию \( h \), получаем уравнение:
\( h = \frac{s}{\sqrt{2}} \)
Отсюда выражаем сторону квадрата:
\( s = h \sqrt{2} \)
Для построения точки \( A \) на верхней прямой \( l_1 \) и точки \( C \) на нижней прямой \( l_3 \) сместим точку \( B \) вдоль направления, перпендикулярного \( l_2 \), на расстояние \( \frac{s}{\sqrt{2}} = h \) и вдоль направления, параллельного \( l_2 \), на расстояние \( \frac{s}{\sqrt{2}} = h \), но в противоположные стороны для \( A \) и \( C \).
Таким образом, координаты точек \( A \) и \( C \) будут:
\( A = B + \vec{v} \), где \( \vec{v} \) — вектор с проекциями \( (h, h) \)
\( C = B + \vec{w} \), где \( \vec{w} \) — вектор с проекциями \( (-h, h) \)
Четвёртая вершина \( D \) определяется как вершина, дополняющая параллелограмм, и вычисляется по формуле:
\( \vec{D} = \vec{A} + \vec{C} — \vec{B} \)
Таким образом, квадрат \( ABCD \) построен так, что \( A \in l_1 \), \( B \in l_2 \), \( C \in l_3 \), и все стороны равны \( s = h \sqrt{2} \), а углы прямые.
