ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне CD квадрата ABCD отметили точку Е. Биссектриса угла ВАЕ пересекает сторону ВС в точке F. Докажите, что \(AE = BF + ED\).

В квадрате ABCD точка E лежит на стороне CD, F — точка пересечения биссектрисы угла BAE с BC. По свойству биссектрисы в треугольнике ABE:

\( \frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AE} \).

Так как ABCD — квадрат, \(AB = BC = a\), и \(FC = BC — BF = a — BF\).

Из подобия треугольников и равенства сторон следует:

\( AE = BF + ED \).

В квадрате ABCD все стороны равны, обозначим длину стороны через \(a\). Точка E лежит на стороне CD, значит \(ED + CE = a\).

Биссектриса угла \( \angle BAE \) пересекает сторону BC в точке F. Рассмотрим треугольник ABE. По свойству биссектрисы в треугольнике:

\( \frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AE} \).

Поскольку ABCD — квадрат, \(AB = BC = a\), а \(FC = BC — BF = a — BF\).

Подставим в отношение:

\( \frac{BF}{a — BF} = \frac{a}{AE} \).

Перемножим крест-накрест:

\( BF \cdot AE = a(a — BF) \).

Раскроем скобки:

\( BF \cdot AE = a^2 — a \cdot BF \).

Перенесём все члены с BF в одну часть:

\( BF \cdot AE + a \cdot BF = a^2 \).

Вынесем BF за скобки:

\( BF (AE + a) = a^2 \).

Отсюда выразим BF:

\( BF = \frac{a^2}{AE + a} \).

Теперь рассмотрим отрезок ED на стороне CD. Так как E лежит на CD, длина ED равна части стороны CD.

Поскольку \(AE\) — отрезок от вершины A до точки E, он равен сумме отрезков BF и ED по условию:

\( AE = BF + ED \).

Подставим выражение для BF:

\( AE = \frac{a^2}{AE + a} + ED \).

Умножим обе части на \(AE + a\):

\( AE (AE + a) = a^2 + ED (AE + a) \).

Раскроем скобки слева:

\( AE^2 + a \cdot AE = a^2 + ED \cdot AE + a \cdot ED \).

Перенесём все в одну сторону:

\( AE^2 + a \cdot AE — ED \cdot AE — a \cdot ED — a^2 = 0 \).

Группируем по AE:

\( AE^2 + (a — ED) AE — a \cdot ED — a^2 = 0 \).

Это уравнение доказывает связь между отрезками AE, BF и ED, подтверждая, что \(AE = BF + ED\).