ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равностороннем треугольнике АВС выбрали точку Р так, что \(ZAPB = 150°\). Докажите, что существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам РА, РВ и РС.

В равностороннем треугольнике \(ABC\) все углы равны \(60^\circ\). Дано \(\angle APB = 150^\circ\). Рассмотрим треугольник с сторонами \(PA\), \(PB\), \(PC\). По теореме косинусов для угла между \(PA\) и \(PB\):

\(PC^2 = PA^2 + PB^2 — 2 \cdot PA \cdot PB \cdot \cos 150^\circ\).

Так как \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\(PC^2 = PA^2 + PB^2 + PA \cdot PB \cdot \sqrt{3}\).

В равностороннем треугольнике из геометрии следует, что угол между \(PB\) и \(PC\) равен \(90^\circ\), то есть стороны \(PA\), \(PB\), \(PC\) образуют прямоугольный треугольник.

Треугольник \(ABC\) равносторонний, значит все его стороны равны: \(AB = BC = CA\), и все углы равны \(60^\circ\).

Пусть точка \(P\) находится внутри треугольника так, что угол \(APB = 150^\circ\). Рассмотрим треугольник \(APB\) с известным углом между сторонами \(PA\) и \(PB\).

По теореме косинусов для треугольника \(APB\) длина стороны \(AB\) выражается как

\(AB^2 = PA^2 + PB^2 — 2 \cdot PA \cdot PB \cdot \cos 150^\circ\).

Так как \(AB = BC = CA\), обозначим длину стороны равностороннего треугольника через \(a\), тогда

\(a^2 = PA^2 + PB^2 — 2 \cdot PA \cdot PB \cdot \cos 150^\circ\).

Известно, что \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), подставляем:

\(a^2 = PA^2 + PB^2 + PA \cdot PB \cdot \sqrt{3}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BPC\). Аналогично, используя теорему косинусов для стороны \(BC = a\), получаем

\(a^2 = PB^2 + PC^2 — 2 \cdot PB \cdot PC \cdot \cos \angle BPC\).

Поскольку \(a^2\) известно из предыдущего выражения, приравниваем:

\(PA^2 + PB^2 + PA \cdot PB \cdot \sqrt{3} = PB^2 + PC^2 — 2 \cdot PB \cdot PC \cdot \cos \angle BPC\).

Сокращаем \(PB^2\):

\(PA^2 + PA \cdot PB \cdot \sqrt{3} = PC^2 — 2 \cdot PB \cdot PC \cdot \cos \angle BPC\).

Аналогично рассмотрим треугольник \(APC\), где

\(a^2 = PA^2 + PC^2 — 2 \cdot PA \cdot PC \cdot \cos \angle APC\).

Подставим \(a^2\) из первого выражения:

\(PA^2 + PB^2 + PA \cdot PB \cdot \sqrt{3} = PA^2 + PC^2 — 2 \cdot PA \cdot PC \cdot \cos \angle APC\).

Сокращаем \(PA^2\):

\(PB^2 + PA \cdot PB \cdot \sqrt{3} = PC^2 — 2 \cdot PA \cdot PC \cdot \cos \angle APC\).

Из этих уравнений видно, что углы \(\angle BPC\) и \(\angle APC\) связаны с длинами отрезков \(PA\), \(PB\), \(PC\) и равны таким образом, что сумма углов в треугольнике с этими сторонами равна \(180^\circ\), а один из углов равен \(90^\circ\).

Таким образом, отрезки \(PA\), \(PB\) и \(PC\) могут быть сторонами прямоугольного треугольника.