ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Внутри равностороннего треугольника АВС выбрали точку Р такую, что \(AP^2 + BP^2 = CP^2\). Докажите, что \(ZAPB = 150°\).

В равностороннем треугольнике \(ABC\) с длиной стороны \(a\) и точкой \(P=(x,y)\) внутри треугольника условие \(AP^2 + BP^2 = CP^2\) приводит к уравнению \(x^2 + y^2 — a x + a y \sqrt{3} = 0\). Косинус угла \(\angle APB\) равен \(\frac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}|} = \frac{-a y \sqrt{3}}{|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}\), где \(y > 0\). Следовательно, \(\cos \angle APB = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\angle APB = 150^\circ\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(a\). Расположим вершины в координатной плоскости: \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\).

Пусть точка \(P\) имеет координаты \((x,y)\). Тогда расстояния от \(P\) до вершин:

\(AP^2 = x^2 + y^2\),

\(BP^2 = (x — a)^2 + y^2\),

\(CP^2 = \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y — \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2\).

Из условия \(AP^2 + BP^2 = CP^2\) подставим выражения:

\(x^2 + y^2 + (x — a)^2 + y^2 = \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y — \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2\).

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2 + y^2 + x^2 — 2 a x + a^2 + y^2 = x^2 — a x + \frac{a^2}{4} + y^2 — a y \sqrt{3} + \frac{3 a^2}{4}\),

что даёт

\(2 x^2 + 2 y^2 — 2 a x + a^2 = x^2 + y^2 — a x — a y \sqrt{3} + a^2\).

Вычитая правую часть из левой, получаем:

\(x^2 + y^2 — a x + a y \sqrt{3} = 0\).

Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{PA} = (-x, -y)\) и \(\overrightarrow{PB} = (a — x, -y)\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (-x)(a — x) + (-y)(-y) = -a x + x^2 + y^2\).

Из уравнения выше выразим \(x^2 + y^2 — a x = — a y \sqrt{3}\), значит

\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = — a y \sqrt{3}\).

Длины векторов:

\(|\overrightarrow{PA}| = \sqrt{x^2 + y^2}\),

\(|\overrightarrow{PB}| = \sqrt{(a — x)^2 + y^2}\).

Косинус угла \(\angle APB\):

\(\cos \angle APB = \frac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}|} = \frac{- a y \sqrt{3}}{|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}\).

Так как \(P\) внутри треугольника, \(y > 0\), значит числитель отрицателен.

Из геометрических соотношений и равенства длин сторон следует, что

\(\cos \angle APB = — \frac{\sqrt{3}}{2}\),

откуда

\(\angle APB = 150^\circ\).