ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В равностороннем треугольнике АВС выбрали точку М такую, что \(ЦАМВ = 120°\), \(МА = 1\), \(МВ = 2\). Найдите отрезок МС.
В равностороннем треугольнике со стороной \(a\) при выборе точки \(M\) с условиями \(MA=1\), \(MB=2\), \(\angle AMB=120^\circ\) получаем систему уравнений: \(x^2 + y^2 = 1\), \((x — a)^2 + y^2 = 4\), и по косинусу угла \(-\frac{1}{2} = \frac{-a x + x^2 + y^2}{2}\). Из них следует \(a = \sqrt{7}\), \(x = \frac{2}{a}\), \(y = \sqrt{1 — \frac{4}{a^2}} = \sqrt{\frac{3}{7}}\). Координаты точки \(C\) равны \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)\). Расстояние \(MC = \sqrt{\left(\frac{a}{2} — x\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{2} — y\right)^2} = \sqrt{3}\). Ответ: \(MC = \sqrt{3}\).
В равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(a\) выбрана точка \(M\) так, что \(MA = 1\), \(MB = 2\), и угол \(\angle AMB = 120^\circ\).
Пусть координаты \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\). Тогда \(M = (x,y)\).
Из условия \(MA = 1\) имеем уравнение \(x^2 + y^2 = 1\).
Из условия \(MB = 2\) имеем уравнение \((x — a)^2 + y^2 = 4\).
Векторы \(\vec{MA} = (-x,-y)\) и \(\vec{MB} = (a — x, -y)\).
Косинус угла между ними равен \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), значит
\(-\frac{1}{2} = \frac{\vec{MA} \cdot \vec{MB}}{|MA||MB|} = \frac{-a x + x^2 + y^2}{2}\).
Умножая обе части на 2, получаем
\(- a x + x^2 + y^2 = -1\).
Подставляя \(x^2 + y^2 = 1\), получаем
\(- a x + 1 = -1\),
откуда
\(a x = 2\),
то есть
\(x = \frac{2}{a}\).
Подставим \(x\) в уравнение для \(MB\):
\((x — a)^2 + y^2 = 4\),
подставляя \(y^2 = 1 — x^2\), получаем
\(\left(\frac{2}{a} — a\right)^2 + 1 — \left(\frac{2}{a}\right)^2 = 4\).
Раскроем скобки:
\(\left(\frac{2}{a} — a\right)^2 = \left(\frac{2 — a^2}{a}\right)^2 = \frac{(2 — a^2)^2}{a^2}\).
Подставим:
\(\frac{(2 — a^2)^2}{a^2} + 1 — \frac{4}{a^2} = 4\).
Умножим всё на \(a^2\):
\((2 — a^2)^2 + a^2 — 4 = 4 a^2\).
Раскроем квадрат:
\(4 — 4 a^2 + a^4 + a^2 — 4 = 4 a^2\),
упростим:
\(a^4 — 3 a^2 = 4 a^2\),
или
\(a^4 — 7 a^2 = 0\),
откуда
\(a^2 (a^2 — 7) = 0\).
Так как \(a \neq 0\), то
\(a^2 = 7\),
значит
\(a = \sqrt{7}\).
Теперь найдём \(y\):
\(y^2 = 1 — x^2 = 1 — \left(\frac{2}{a}\right)^2 = 1 — \frac{4}{7} = \frac{3}{7}\).
Координаты точки \(M\):
\(M = \left(\frac{2}{\sqrt{7}}, \sqrt{\frac{3}{7}}\right)\).
Координаты точки \(C\) равностороннего треугольника:
\(C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2}\right)\).
Расстояние \(MC\):
\(MC = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{7}}{2} — \frac{2}{\sqrt{7}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{21}}{2} — \sqrt{\frac{3}{7}}\right)^2}\).
Упростим разности:
\(\frac{\sqrt{7}}{2} — \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{3}{2 \sqrt{7}}\),
\(\frac{\sqrt{21}}{2} — \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{5 \sqrt{21}}{14}\).
Подставим:
\(MC = \sqrt{\left(\frac{3}{2 \sqrt{7}}\right)^2 + \left(\frac{5 \sqrt{21}}{14}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4 \cdot 7} + \frac{25 \cdot 21}{196}} = \sqrt{\frac{9}{28} + \frac{525}{196}}\).
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{9}{28} = \frac{63}{196}\),
значит
\(MC = \sqrt{\frac{63}{196} + \frac{525}{196}} = \sqrt{\frac{588}{196}} = \sqrt{3}\).
Ответ: \(MC = \sqrt{3}\)
