ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вне равностороннего треугольника АВС выбрали точку М так, что \(ЦАМВ = 120°\), \(МА = 1\), \(МВ = 2\). Найдите отрезок МС.

Пусть \(A=0\), \(B=a\) на оси \(x\), \(C = a \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(M = x + iy\). Из условия: \(MA = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1\), \(MB = 2 \Rightarrow (x — a)^2 + y^2 = 4\), угол \(\angle CAMB = 120^\circ\) даёт \(a x = 2\). Тогда \(x = \frac{2}{a}\), подставляем в уравнения и получаем \(a^2 = 7\), \(y = -\sqrt{\frac{3}{7}}\). Длина \(MC = \sqrt{\left(\frac{2}{a} — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y — \frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2} = 3\). Ответ: 3.

Пусть точки \(A\), \(B\), \(C\), \(M\) расположены на комплексной плоскости, где \(A = 0\), \(B = a\) — действительное число, так как треугольник равносторонний. Тогда \(C = a \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\).

Из условия \(MA = 1\) следует, что \( |m| = 1 \), где \(m = x + iy\) — координаты точки \(M\). Значит, \(x^2 + y^2 = 1\).

Из условия \(MB = 2\) имеем \( |m — b| = 2 \), то есть \((x — a)^2 + y^2 = 4\).

Угол \(\angle CAMB = 120^\circ\) — угол между векторами \(\overrightarrow{MA} = A — M = -m\) и \(\overrightarrow{MB} = B — M = a — m\). Угол между векторами \(u\) и \(v\) задаётся формулой \(\cos \theta = \frac{\mathrm{Re}(u \overline{v})}{|u||v|}\).

Подставим \(u = -m\), \(v = a — m\), тогда

\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} = \frac{\mathrm{Re}(-m \overline{(a — m)})}{|m||a — m|} = \frac{\mathrm{Re}(-m \overline{a} + m \overline{m})}{1 \cdot 2} = \frac{\mathrm{Re}(-m a + |m|^2)}{2} = \frac{\mathrm{Re}(-m a) + 1}{2}\).

Отсюда \(\mathrm{Re}(-m a) + 1 = -1\), значит \(\mathrm{Re}(m a) = 2\).

Так как \(a\) — действительное число, то \(\mathrm{Re}(m a) = a x = 2\), отсюда \(x = \frac{2}{a}\).

Подставим \(x = \frac{2}{a}\) в уравнения окружностей:

\(x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow \frac{4}{a^2} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 — \frac{4}{a^2}\),

\((x — a)^2 + y^2 = 4 \Rightarrow \left(\frac{2}{a} — a\right)^2 + y^2 = 4\).

Подставим \(y^2\) из первого уравнения во второе:

\(\left(\frac{2}{a} — a\right)^2 + 1 — \frac{4}{a^2} = 4\).

Раскроем квадрат:

\(\left(\frac{2}{a} — a\right)^2 = \frac{4}{a^2} — 2 \cdot \frac{2}{a} \cdot a + a^2 = \frac{4}{a^2} — 4 + a^2\).

Подставим:

\(\frac{4}{a^2} — 4 + a^2 + 1 — \frac{4}{a^2} = 4\).

Сокращаем \(\frac{4}{a^2}\):

\(-4 + a^2 + 1 = 4 \Rightarrow a^2 — 3 = 4 \Rightarrow a^2 = 7\).

Теперь \(a = \sqrt{7}\), \(x = \frac{2}{\sqrt{7}}\), \(y^2 = 1 — \frac{4}{7} = \frac{3}{7}\), значит \(y = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}\).

Точка \(C = \sqrt{7} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{7}}{2} + i \frac{\sqrt{21}}{2}\).

Вычислим длину \(MC\):

\(MC = \sqrt{\left(x — \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + \left(y — \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{7}} — \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + \left(y — \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2}\).

Вычислим разности по координатам:

\(\frac{2}{\sqrt{7}} — \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{4}{2 \sqrt{7}} — \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{4 — 7}{2 \sqrt{7}} = -\frac{3}{2 \sqrt{7}}\).

Рассмотрим \(y = -\sqrt{\frac{3}{7}}\):

\(y — \frac{\sqrt{21}}{2} = -\sqrt{\frac{3}{7}} — \frac{\sqrt{21}}{2} = -\frac{\sqrt{21}}{7} — \frac{\sqrt{21}}{2} = \sqrt{21} \left(-\frac{1}{7} — \frac{1}{2}\right) = -\frac{9 \sqrt{21}}{14}\).

Подставим в формулу длины:

\(MC = \sqrt{\left(-\frac{3}{2 \sqrt{7}}\right)^2 + \left(-\frac{9 \sqrt{21}}{14}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4 \cdot 7} + \frac{81 \cdot 21}{196}} = \sqrt{\frac{9}{28} + \frac{1701}{196}}\).

Приведём к общему знаменателю 196:

\(\frac{9}{28} = \frac{63}{196}\).

Тогда

\(MC = \sqrt{\frac{63 + 1701}{196}} = \sqrt{\frac{1764}{196}} = \sqrt{9} = 3\).

Ответ: 3.