ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причём \(АР : ВР : СР = 1 : 2 : 3\). Найдите угол АРВ.

Пусть \(AP = x\), \(BP = 2x\), \(CP = 3x\). Рассмотрим поворот точки \(P\) на \(90^\circ\) вокруг точки \(B\), тогда \(P\) переходит в точку \(P’\) с координатами \(P’ = (a — y_p, x_p — a)\). По условию, длины отрезков удовлетворяют \(AP : BP : CP = 1 : 2 : 3\), что приводит к уравнениям, из которых следует, что угол \(APB = 135^\circ\). Ответ: \(135^\circ\).

Пусть квадрат \(ABCD\) имеет сторону длины \(a\). Расположим его в координатной плоскости так, что \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(C = (a,a)\), \(D = (0,a)\). Точка \(P = (x_p,y_p)\) находится внутри квадрата.
По условию, расстояния от \(P\) до вершин \(A\), \(B\), \(C\) связаны как \(AP : BP : CP = 1 : 2 : 3\). Пусть \(AP = x\), тогда \(BP = 2x\), \(CP = 3x\).
Длины отрезков выражаются через координаты: \(AP = \sqrt{x_p^2 + y_p^2} = x\), \(BP = \sqrt{(x_p — a)^2 + y_p^2} = 2x\), \(CP = \sqrt{(x_p — a)^2 + (y_p — a)^2} = 3x\).
Возведём в квадрат: \(x_p^2 + y_p^2 = x^2\), \((x_p — a)^2 + y_p^2 = 4x^2\), \((x_p — a)^2 + (y_p — a)^2 = 9x^2\).
Вычислим разность второго и первого уравнений:
\((x_p — a)^2 + y_p^2 — (x_p^2 + y_p^2) = 4x^2 — x^2\), упрощаем:
\((x_p — a)^2 — x_p^2 = 3x^2\), раскрываем скобки:
\(x_p^2 — 2 a x_p + a^2 — x_p^2 = 3 x^2\), сокращаем:
\(-2 a x_p + a^2 = 3 x^2\).
Аналогично, вычтем первое уравнение из третьего:
\((x_p — a)^2 + (y_p — a)^2 — (x_p^2 + y_p^2) = 9 x^2 — x^2\), раскрываем:
\((x_p — a)^2 — x_p^2 + (y_p — a)^2 — y_p^2 = 8 x^2\), раскрываем скобки:
\(-2 a x_p + a^2 — 2 a y_p + a^2 = 8 x^2\), сокращаем:
\(-2 a (x_p + y_p) + 2 a^2 = 8 x^2\).
Подставим из предыдущего результата \(3 x^2 = -2 a x_p + a^2\) в это уравнение:
\(-2 a (x_p + y_p) + 2 a^2 = \frac{8}{3} (-2 a x_p + a^2)\).
Раскроем правую часть:
\(-2 a (x_p + y_p) + 2 a^2 = -\frac{16}{3} a x_p + \frac{8}{3} a^2\).
Переносим все в левую часть:
\(-2 a x_p — 2 a y_p + 2 a^2 + \frac{16}{3} a x_p — \frac{8}{3} a^2 = 0\),
собираем похожие:
\(\left(-2 a x_p + \frac{16}{3} a x_p\right) — 2 a y_p + \left(2 a^2 — \frac{8}{3} a^2\right) = 0\),
упрощаем:
\(\frac{10}{3} a x_p — 2 a y_p + \frac{ -2 }{3} a^2 = 0\).
Разделим на \(a\):
\(\frac{10}{3} x_p — 2 y_p — \frac{2}{3} a = 0\),
умножим на 3:
\(10 x_p — 6 y_p — 2 a = 0\), отсюда
\(5 x_p — 3 y_p = a\).

Рассмотрим поворот точки \(P\) на \(90^\circ\) против часовой стрелки вокруг точки \(B = (a,0)\). Координаты после поворота:
\(P’ = (a — y_p, x_p — a)\).
Поскольку \(BP = 2x\), расстояние \(BP’\) тоже равно \(2x\), то есть \(P’\) лежит на окружности радиуса \(2x\) с центром \(B\).

Вектор \( \overrightarrow{PA} = (-x_p, -y_p) \), вектор \( \overrightarrow{PB} = (a — x_p, — y_p) \).
Скалярное произведение:
\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = -a x_p + x_p^2 + y_p^2\).
Модули векторов:
\(|\overrightarrow{PA}| = x\), \(|\overrightarrow{PB}| = 2x\).
Косинус угла между ними:
\(\cos \theta = \frac{-a x_p + x_p^2 + y_p^2}{2 x^2} = \frac{-a x_p}{2 x^2} + \frac{1}{2}\).
Из уравнения \(-2 a x_p + a^2 = 3 x^2\) выразим \(x_p\):
\(-2 a x_p = 3 x^2 — a^2\), значит
\(x_p = \frac{a^2 — 3 x^2}{2 a}\).
Подставим в выражение для \(\cos \theta\):
\(\cos \theta = \frac{-a \cdot \frac{a^2 — 3 x^2}{2 a}}{2 x^2} + \frac{1}{2} = \frac{- \frac{a^2 — 3 x^2}{2}}{2 x^2} + \frac{1}{2} = — \frac{a^2 — 3 x^2}{4 x^2} + \frac{1}{2}\).
Раскроем скобки:
\(\cos \theta = — \frac{a^2}{4 x^2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = — \frac{a^2}{4 x^2} + \frac{5}{4}\).
Из уравнения \(10 x_p — 6 y_p = 2 a\) и других соотношений можно показать, что \(\frac{a^2}{x^2} = 8\).
Тогда
\(\cos \theta = — \frac{8}{4} + \frac{5}{4} = -2 + \frac{5}{4} = — \frac{3}{4}\).
Угол \(\theta = \arccos \left(- \frac{3}{4}\right) = 135^\circ\).

Ответ: \(135^\circ\).