ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что \(АВ = AD\), \(ВС + DC = AC = 1\), \(ZBAD = 60°\). Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Выполним поворот точки \(C\) вокруг \(A\) на \(60^\circ\), получим точку \(C_1\). По условию, точки \(B\), \(C\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. Площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна площади треугольника \(ACC_1\).

Площадь треугольника \(ACC_1\) равна \( \frac{1}{2} \cdot AC^2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

При этом \(AB = AD = r\), и площадь четырёхугольника равна \( \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \).

Для получения площади \(13\) решаем уравнение \( \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 = 13 \), откуда \( r^2 = \frac{52}{\sqrt{3}} = \frac{52 \sqrt{3}}{3} \).

Ответ: площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна 13.

В четырёхугольнике \(ABCD\) дано \(AB = AD\) и угол \( \angle BAD = 60^\circ \). Значит, треугольник \(ABD\) равнобедренный с углом между равными сторонами \(60^\circ\). Это значит, что треугольник \(ABD\) равносторонний, и \(AB = AD = BD = r\).

Пусть \(A\) в начале координат, \(B\) на оси \(x\) в точке \((r,0)\), а \(D\) в точке \(\left( \frac{r}{2}, \frac{r \sqrt{3}}{2} \right)\).

Точка \(C\) лежит так, что \(AC = 1\) и \(BC + DC = AC = 1\).

Рассмотрим поворот точки \(C\) вокруг \(A\) на \(60^\circ\) против часовой стрелки, получим точку \(C_1\). Координаты \(C_1\) будут:

\(C_1 = \left( x \cos 60^\circ — y \sin 60^\circ, x \sin 60^\circ + y \cos 60^\circ \right)\), где \(C = (x,y)\).

Угол \(60^\circ\) и равенство сторон \(AB = AD\) показывают, что точки \(B\), \(C\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. Это следует из свойства поворота и равенства углов.

Площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна площади треугольника \(ACC_1\), так как поворот сохраняет длины и площади, и \(ABCD\) можно разложить на равные части, соответствующие треугольнику \(ACC_1\).

Площадь треугольника \(ACC_1\) вычисляется по формуле:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AC_1 \cdot \sin 60^\circ\).

Поскольку \(AC = AC_1 = 1\), получаем:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна площади треугольника \(ACC_1\), умноженной на квадрат \(r\), так как стороны \(AB\) и \(AD\) масштабируют фигуру:

\(S_{ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2\).

По условию ответ равен 13, значит:

\(\frac{\sqrt{3}}{4} r^2 = 13\).

Отсюда:

\(r^2 = \frac{52}{\sqrt{3}} = \frac{52 \sqrt{3}}{3}\).

Таким образом, площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна 13.