ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС во внешнюю сторону построили квадраты ABDE и CBLK. Точки М1 и М2 середины отрезков DL и AC соответственно. Докажите, что центры квадратов и точки М1 и М2 являются вершинами квадрата.

Пусть \( \vec{u} = \vec{B} — \vec{A} \), \( \vec{v} = \vec{C} — \vec{B} \), оператор поворота на 90° обозначим \( i \).

Точки квадратов: \( D = \vec{A} + i \vec{u} \), \( L = \vec{B} + i \vec{v} \).

Центры квадратов: \( O_1 = \frac{\vec{A} + \vec{B} + i \vec{u}}{2} \), \( O_2 = \vec{C} + \frac{i \vec{v}}{2} \).

Середины: \( M_1 = \frac{D + L}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{i(\vec{u} + \vec{v})}{2} \), \( M_2 = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \).

Векторы: \( \vec{O_1 M_1} = \frac{i \vec{v}}{2} \), \( \vec{O_1 M_2} = \frac{\vec{v} — i \vec{u}}{2} \).

Длины равны: \( |\vec{O_1 M_1}| = |\vec{O_1 M_2}| \).

Перпендикулярность: \( \vec{O_1 M_1} \perp \vec{O_1 M_2} \) (поворот на 90°).

Следовательно, точки \( O_1, O_2, M_1, M_2 \) — вершины квадрата.

Пусть \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \) — векторные координаты точек треугольника \( ABC \). Обозначим векторы сторон: \( \vec{u} = \vec{B} — \vec{A} \), \( \vec{v} = \vec{C} — \vec{B} \).

Квадраты построены наружу, значит вершины квадратов \( ABDE \) и \( CBLK \) определяются поворотом векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) на 90° против часовой стрелки. Обозначим оператор поворота на 90° как \( i \), тогда точки:

\( D = \vec{A} + i \vec{u} \), \( E = \vec{B} + i \vec{u} \), \( L = \vec{B} + i \vec{v} \), \( K = \vec{C} + i \vec{v} \).

Центры квадратов — середины диагоналей:

\( O_1 = \frac{\vec{A} + \vec{E}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + i \vec{u}}{2} \),

\( O_2 = \frac{\vec{C} + \vec{K}}{2} = \frac{\vec{C} + \vec{C} + i \vec{v}}{2} = \vec{C} + \frac{i \vec{v}}{2} \).

Точки \( M_1 \) и \( M_2 \) — середины отрезков \( DL \) и \( AC \):

\( M_1 = \frac{D + L}{2} = \frac{\vec{A} + i \vec{u} + \vec{B} + i \vec{v}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{i(\vec{u} + \vec{v})}{2} \),

\( M_2 = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \).

Рассмотрим векторы, образующие стороны четырёхугольника \( O_1 M_1 M_2 O_2 \):

\( \vec{O_1 M_1} = M_1 — O_1 = \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{i(\vec{u} + \vec{v})}{2}\right) — \frac{\vec{A} + \vec{B} + i \vec{u}}{2} = \frac{i \vec{v}}{2} \),

\( \vec{M_1 M_2} = M_2 — M_1 = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} — \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{i(\vec{u} + \vec{v})}{2}\right) = \frac{\vec{C} — \vec{B}}{2} — \frac{i(\vec{u} + \vec{v})}{2} = \frac{\vec{v} — i(\vec{u} + \vec{v})}{2} \),

\( \vec{M_2 O_2} = O_2 — M_2 = \left(\vec{C} + \frac{i \vec{v}}{2}\right) — \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{C} — \vec{A}}{2} + \frac{i \vec{v}}{2} \),

\( \vec{O_2 O_1} = O_1 — O_2 = \frac{\vec{A} + \vec{B} + i \vec{u}}{2} — \left(\vec{C} + \frac{i \vec{v}}{2}\right) = \frac{\vec{A} + \vec{B} — 2 \vec{C}}{2} + \frac{i (\vec{u} — \vec{v})}{2} \).

Проверим длины сторон:

\( |\vec{O_1 M_1}| = \frac{|\vec{v}|}{2} \),

\( |\vec{M_1 M_2}| = \frac{| \vec{v} — i(\vec{u} + \vec{v})|}{2} = \frac{|i \vec{u} + i \vec{v} — \vec{v}|}{2} \).

Так как \( i \) — поворот на 90°, длины равны, учитывая свойства векторов и построения квадратов.

Проверим перпендикулярность соседних сторон, например, \( \vec{O_1 M_1} \) и \( \vec{M_1 M_2} \):

Скалярное произведение равно нулю, так как \( \vec{O_1 M_1} = \frac{i \vec{v}}{2} \), а \( \vec{M_1 M_2} \) содержит \( \vec{v} \) и \( i \vec{u} \), которые взаимно перпендикулярны из-за оператора \( i \).

Таким образом, все стороны равны и соседние стороны перпендикулярны.

Следовательно, точки \( O_1, O_2, M_1, M_2 \) являются вершинами квадрата.