ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте образ отрезка АВ (рис. 23.16) при гомотетии с центром О и коэффициентом: 1) \(k = 2\); 2) \(k = \frac{1}{2}\).

При гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) образ точки \(X’\) строится так, что \(OX’ = k \cdot OX\).

1) При \(k = 2\) точки \(A’\) и \(B’\) лежат на лучах \(OA\) и \(OB\) соответственно, и \(OA’ = 2 \cdot OA\), \(OB’ = 2 \cdot OB\). Отрезок \(A’B’\) в 2 раза длиннее исходного.

2) При \(k = \frac{1}{2}\) точки \(A’\) и \(B’\) лежат на лучах \(OA\) и \(OB\), и \(OA’ = \frac{1}{2} \cdot OA\), \(OB’ = \frac{1}{2} \cdot OB\). Отрезок \(A’B’\) в 2 раза короче исходного.

Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) переводит каждую точку \(X\) в точку \(X’\), лежащую на луче \(OX\), такую что расстояние от \(O\) до \(X’\) равно \(k\) умноженному на расстояние от \(O\) до \(X\), то есть \(OX’ = k \cdot OX\).

Для построения образа отрезка \(AB\) при гомотетии сначала проводим лучи \(OA\) и \(OB\). Затем на каждом луче откладываем отрезок, длина которого равна \(k\) умноженному на длину соответствующего исходного отрезка: \(OA’\) на луче \(OA\) и \(OB’\) на луче \(OB\).

При коэффициенте гомотетии \(k = 2\) точки \(A’\) и \(B’\) находятся на тех же лучах, что и \(A\) и \(B\), но расстояния от центра \(O\) удваиваются: \(OA’ = 2 \cdot OA\), \(OB’ = 2 \cdot OB\). Это значит, что отрезок \(A’B’\) будет в 2 раза длиннее исходного отрезка \(AB\) и расположен дальше от центра \(O\).

При коэффициенте гомотетии \(k = \frac{1}{2}\) точки \(A’\) и \(B’\) также лежат на лучах \(OA\) и \(OB\), но расстояния от \(O\) уменьшаются вдвое: \(OA’ = \frac{1}{2} \cdot OA\), \(OB’ = \frac{1}{2} \cdot OB\). Отрезок \(A’B’\) в этом случае будет в 2 раза короче исходного и расположен ближе к центру гомотетии \(O\).

Таким образом, при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) образ отрезка \(AB\) — это отрезок \(A’B’\), где \(A’\) и \(B’\) получены умножением векторов \(OA\) и \(OB\) на коэффициент \(k\). Размер и расположение образа зависит от значения \(k\): при \(k > 1\) отрезок увеличивается и удаляется от \(O\), при \(0 < k < 1\) уменьшается и приближается к \(O\).